21-控制系统的数学模型.pptx

工程控制原理2.数学模型与传递函数建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，是机电控制工程的基本方法。如果将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程为基础。而以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。2.1控制系统的数学模型2.1.1数学模型对于一个复杂的物理系统，为了对系统的动态特性进行分析和综合，必须用数学表达式来描述该系统，这个表达式称为该系统的“数学模型”。由于动态过程中有关物理量都是时间的函数，所以，通常用微分方程来描述系统。2.1.1数学模型数学模型是描述物理系统的运动规律、特性和输入输出关系的一个或一组方程式。系统的数学模型可分为静态和动态数学模型。静态数学模型：反映系统处于平衡点（稳态）时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。即只考虑同一时刻实际系统各物理量之间的数学关系，不管各变量随时间的演化，输出信号与过去的工作状态（历史）无关。因此，静态模型都是代数式，数学表达式中不含有时间变量。2.1.1数学模型动态数学模型：描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。微分方程或差分方程常用作动态数学模型。对于给定的动态系统，数学模型不是唯一的。工程上常用的数学模型包括：微分方程，传递函数和状态方程。对于线性系统，它们之间是等价的。针对具体问题，选择不同的数学模型。2.1.2建立控制系统数学模型的方法物理系统往往比较复杂，因而必须作一些理想化的假设，获得简化的数学模型。理论分析法（解析法）：对系统各部分的运动机理进行分析，依据系统本身所遵循的有关定律列写数学表达式，并在列写过程中进行必要的简化。实验研究法根据系统对某些典型输入信号的响应或其它实验数据建立数学模型。即人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。对于比较复杂的系统，需要通过理论分析与实验研究结合起来，才能获得适用的数学模型。2.1.3线性系统与非线性系统(1)线性系统若描述系统的微分方程是变量及其导数的一次有理整式，则此系统称为线性系统。线性系统可以用线性微分方程描述。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统。线性系统的线性性质是指系统满足叠加性和齐次性。叠加性：指当几个激励信号同时作用于系统时，总的输出响应等于每个激励单独作用所产生的响应之和。齐次性：指当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的常数。(2)非线性系统不是线性系统的系统称为非线性系统。非线性系统用非线性微分方程描述。非线性系统不满足叠加性和齐次性。系统中只要含有一个非线性性质的元件，就成为一个非线性系统。许多机械系统各物理量之间的关系都是非线性的，即使对所谓的线性系统来说，也只是在一定的工作范围内保持线性关系。因此，研究机械系统的某些动态特性时，必须考虑系统中的非线性特征。例(2)非线性系统许多机械系统、电气系统、液压及气动系统等，其物理量之间都包含有非线性关系。例如：在大输入信号作用下，元件的输出量可能饱和(即饱和非线性)；在小信号输入下，元件没有输出量(即死区非线性)；某些元件中可能存在着平方非线性关系。如下图所示。(2)非线性系统是否线性元件的判别：元件的输出与输入间关系为一次幂函数线性元件二次或高次幂函数、周期函数或超越函数非线性元件判别系统数学模型微分方程是否非线性：其中的函数出现高于一次的项，或者函数导数项的系数是输出量的函数。机械系统中常见的一些非线性问题2.1.3线性系统与非线性系统2.1.3线性系统与非线性系统2.1.4系统非线性微分方程的线性化工程上，绝对的线性元件和线性系统是不存在的；数学上，非线性微分方程的求解困难，目前只能采用数值解法，但也存在较大的数值误差。为了解决工程实际问题，必须对非线性微分方程进行线性化处理。本质非线性性质：在工作点附近存在着不连续直线、跳跃、折线，以及非单值关系等严重非线性性质的元件或系统。对于非本质非线性元件或系统，可以在工作点附近用切线来替代函数关系，这就是非线性数学模型的线性化方法之一（微小偏差法）。系统正常工作时，通常都有一个预定工作点，即系统处于某一平衡位置，对于自动调节系统或随动系统，只要系统的工作状态稍一偏离此平衡位置，整个系统就会立即作出反应，并力图恢复原来的平衡位置。具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或微小偏差法。在预定工作点处一个小范围内，将非线性特性用一断直线来代替。一个变量的非线性函数f(x)，在x0处连续可微，则可将它在该点附件用T