控制系统的数学模型.docx

第2章控制系统的数学模型（10学时）
【主要讲授内容及时间分配】
2.1线性系统的微分方程（45分钟）
2.2非线性系统的线性化（45分钟）
2.3传递函数（90分钟）
2.4方框图及其变换（90分钟）
2.5信号流图及其应用（90分钟）
2.6控制系统的典型传递函数（45分钟）
2.7用Matlab处理系统数学模型（45分钟）
【重点与难点】
1、重点：常用元部件传递函数的求取，系统传递函数的求取。
2、难点：结构图等效变换，梅森公式的应用。
【教学要求】
1、能够用理论推导的方法建立电路系统及力学系统的数学模型－微分方程；
2、掌握典型元部件的传递函数的求取；
3、掌握结构图的绘制，由结构图等效变换求传递函数；
4、掌握由梅森公式求传递函数。
【实施方法】
课堂讲授，PPT配合

2.1线性系统的微分方程
大多数控制系统在一定的限制条件下，都可以用线性微分方程来描述，因此线性系统的研究具有重要的实用价值。本节重点分析线性定常系统微分方程的建立。
用分析法建立系统微分方程的一般步骤如下：
(1)分析系统的工作原理和系统中各变量之间的关系，确定系统的输入量、输出量和中间变量。
(2)根据系统（或元件）的基本定律（物理、化学定律），从系统的输入端开始，依次列写组成系统各元件的运动方程（微分方程）。
(3)联立方程，消去中间变量，得到有关输入量与输出量之间关系的微分方程。
(4)标准化。即将与输出量有关的各项放在方程的左边，与输入量有关的各项放在方程的右边，等式两边的导数项按降幂排列。
2.2非线性系统的线性化
实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等非线性特性，严格地讲，任何一个元件或系统都不同程度地具有非线性特性。在研究系统时尽量将非线性在合理、可能的条件下简化为线性问题，即将非线性模型线性化。
非线性函数的线性化是指将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数，忽略二次以上高阶无穷小量及余项，得到近似的线性化方程。
在求取线性化增量方程时应注意：
(1)线性化方程通常是以增量方程描述的；
(2)线性化往往是相对某一工作点（平衡点）进行的。在线性化之前，必须确定元件的工作点；
(3)变量的变化必须是小范围的；
(4)对于严重非线性元件或系统，原则上不能用小偏差法进行线性化，应利用非线性系统理论解决。
2.3传递函数
传递函数的定义
线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，定义为线性定常系统的传递函数。即

设线性定常系统的微分方程为

设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上式取拉氏变换，则系统的传递函数为：

传递函数的基本性质
(1)传递函数是微分方程经拉氏变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统。
(2)传递函数只与系统本身的结构和参数有关，与系统输入量的大小和形式无关。
(3)传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统是处于相对静止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的运动规律。
(4)传递函数是复变量s的有理分式。分母多项式的最高阶次n高于或等于分子多项式的最高阶次m，即n≥m。这是因为实际系统或元件总是具有惯性且能源有限。
(5)一个传递函数只能表示单输入单输出的关系。对多输入多输出系统，要用传递函数阵表示。
(6)传递函数可表示零极点形式和时间常数形式，分别如下：

典型环节的传递函数
1.比例环节：
输出量与输入量成正比，不失真也无时间滞后的环节
传递函数为

2.积分环节
传递函数为

3.微分环节
传递函数为

4.惯性环节
传递函数为

5.一阶微分环节
传递函数为

6.二阶振荡环节
传递函数为

7.二阶微分环节
传递函数为

8.时滞环节
时滞环节是在输入信号作用后，输出信号要延迟一段时间才重现输入信号的环节。
传递函数为

方框图及其变换
系统方框图实质上是系统原理图与数学方程两者的结合，既补充了原理图所
缺少的定量描述，又避免了纯数学的抽象运算。
方框图
方框图由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，它包含以下四种基本单元：
(1)信号线。如图2-23(a)所示。
(2)比较点（或综合点）。表示对两个或两个以上的信号进行加减运算。如图2-23(b)所示。
(3)方框。方框中为元件或系统的传递函数。如图2-23(c)所示。
(4)引出点（或分支点）。如图2-23(d)所示。

绘制控制系统方框图的一般步骤如下：
写出组成系统各环节的微分方程；
求取各环节的传递函数，绘制各环节的方框图；
(3)从输入端开始，按信号流向依次将各环节方框图用信号线连接成整体，即得控制系统方框图
方框图的等效变换
结构图简化的一般方法是移动引出点或比较点，合并串联、并联和反馈连接的
方框。同