方程概论公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

数学物理方程序言完整地处理数学物理方程包括三个方面内容：波动方程解法热传导方程解法位势方程解法学时安排数值解法单位圆域内调和方程边值问题带孔矩形板热传导方程初边值问题圆形薄膜震动问题初始位移u=J0(μ01r)第一章方程概论1.1基本概念举例线性偏微分方程非线性偏微分方程拟线性偏微分方程偏微分方程阶数1.2典型方程导出波动方程此式称为杆纵向振动方程。弦力学基本方程为此式称为弦横向振动方程。在连续介质热传导问题中，基本物理定律有两个：热传导定律和能量守恒定律。对于各向同性物体热传导问题，依据热传导定律可知，热量由温度高处流向温度低处，单位时间内通过单位面积热流密度向量与温度负梯度成正比考虑任意闭合曲面所围物质体V，利用能量守恒定律可得设水源中污染物浓度为c,将污染物浓度扩散问题与流体热传导问题相类比，可得污染物浓度偏微分方程泊松方程关于方程左边由积分区域V任意性，最后导出1.3定解条件与定解问题1.3.1通解和特解例1方程通解设解得此二阶偏微分方程解，代表解函数空间（因含两个任意函数），范围很大，称之为通解；若能拟定通解中任意函数，通解就变为了特解，特解中不含任意函数或任意常数；仅有少数简朴偏微分方程能够通过类似常微分办法得到通解，如本例。普通而言，偏微分方程通解很复杂、也很难得到。例2方程特解设1.3.2定解条件初始条件热传导方程含有对时间一阶偏导数，初始条件是指边界条件其中f2为已知函数。1.3.3定解问题初值问题一维无界杆热传导方程初值问题泛定方程与边界条件构成定解问题称为边值问题。位势方程边值问题可分为三种。⑴第一边值问题位势方程与第一类边界条件构成定解问题成为第一边值问题，也称为Dirichlet问题。比如⑵第二边值问题位势方程与第二类边界条件构成定解问题成为第二边值问题，也称为Neumenn问题。比如⑶第三边值问题位势方程与第三边界条件构成定解问题成为第三边值问题，也称为Robin问题。比如既有初值条件又有边界条件定解问题称为称为初值边值问题或混合问题，如1.3.4适定性概念1.4含有两个自变量二阶线性偏微分方程分类1.4.1方程分类双自变量二阶线性偏微分方程普通形式为双自变量二阶线性偏微分方程分类。1.4.2方程原则形式1.4.3方程简化积分后可得两个特性线方程隐式通解（两族特性线）原微分方程可化为椭圆型方程原则形式(3)当Δ=0时，只有一个特性线方程例3特里科米方程原则形式解积分后得两族特性线详细地计算函数微分：方程化为双曲型方程第一原则形式(2)当Δ=-y<0时，方程为椭圆型方程。方程化为原则形式(3)当Δ=-y=0时，方程为抛物型方程例4方程原则形式和通解解得到双曲型方程第一原则形式设1.5波动方程行波法1.5.1一维波动方程初值问题达朗贝尔公式波动方程化成第一原则型积分这就是著名达朗贝尔公式，其中φ,ψ分别为二次和一次可微函数，时间范围t取有限值。端点固定(B)物理意义验证端点固定条件。当x=0时，由上述公式有考虑区域（x-at>0），由达朗贝尔公式可得端点自由(B)验证端点自由条件。计算上述公式梯度在区域（x-at>0）内，由达朗贝尔公式可得1.6叠加原理和齐次化原理1.6.1叠加原理满足原方程当m趋于无穷时，要求级数思考例5解可得1.6.2齐次化原理设L是关于t和x线性微分算子，其中关于t最高解导数不超出m-1阶，若函数w(x,t;τ)满足齐次方程例6解另一方面，验证结果满足齐次初始条件（3）最后给出非齐次波动方程非齐次初值问题第一章方程概论例6_2*（2）验证结果满足非齐次波动方程