凯莱哈密尔顿定理的多种证法和应用大学论文.doc

本科生毕业设计（论文）（届）设计（论文）题目凯莱哈密尔顿定理的多种证法和应用作者分院专业班级指导教师（职称）论文字数论文完成时间凯莱哈密尔顿定理的多种证法和应用摘要：凯莱哈密尔顿定理是线性代数中的一个重要定理.本文主要是通过矩阵的有理标准形，归纳总结，上三角矩阵等不同的方法来证明凯莱哈密尔顿定理，并举例说明凯莱哈密尔顿定理在高等代数解题中的应用，特别是利用凯莱哈密尔顿定理在求解计算题时，比常规解法更方便、简捷，为同学们在高等代数学习中得到较好的帮助.关键词：凯莱哈密尔顿；归纳总结；上三角矩阵AVarietyProofandApplicationofCayleyHamiltonTheoreMathematicsandappliedmathematicsclass1001wusulingInstructor:yanghaoboAbstract：CayleyHamiltontheoremisanimportanttheoremoflinearalgebra.Inthisarticle,variousofmethodscanattesttheCayleyHamiltontheorem,suchasthroughtherationalcanonicalformofmatrix,sumup,theuppertriangularmatrixtoattesttheCayleyHamiltontheoremandgiveanexampletoinstructionscayleyHamiltontheoremintheapplicationoftheadvancedalgebraproblemsolving,EspeciallyusingcayleyHamiltontheoreminsolvingcomputationalproblemsismoreconvenientandsimplthantheconventionalmethod,thisarticleoffergoodhelpinlearningadvancedalgebratostudents.Keywords：CayleyHamilton;generalizations;uppertriangularmatrix目录1引言12凯莱哈密尔顿定理的证法12.1利用数学归纳法证明凯莱哈密尔顿定理12.2利用上三角矩阵证明凯莱哈密尔顿定理22.3利用伴随矩阵证明凯莱哈密尔顿定理33凯莱哈密尔顿定理的应用43.1凯莱哈密尔顿定理在高等代数证明题上的应用43.2凯莱哈密尔顿定理在高等代数计算题上的应用53.2.1利用凯莱哈密尔顿定理求解逆矩阵53.2.2利用凯莱哈密尔顿定理求解方阵高次幂问题53.2.3利用凯莱哈密尔顿定理求解二阶方阵的平方根73.2.4利用凯莱哈密尔顿定理来解决有限维线性空间直和分解的问题84总结10参考文献10致谢1211凯莱哈密尔顿定理的多种证法和应用引言凯莱哈密尔顿定理是矩阵的特征多项式里的一个很重要的性质，而特征多项式也是《高等代数》教学中的重要内容之一.其中该定理表示：设是数域上的阶方阵，则矩阵的特征多项式为零矩阵，即.这个定理告诉我们，任意给定数域上一个矩阵，总是可以找到一个在数域的一个多项式，使得，我们就称是的根.不论是在国内还是在国外都有很多有关凯莱哈密尔顿定理的科研成果，在不同的领域中凯莱哈密尔顿定理也被广泛的应用.在此，我通过阅读大量有关凯莱哈密尔顿定理的期刊和图书，对期刊中所给的证明进行了归纳总结，也对其应用进行了归纳和研究，并给出相关例子来加以理解.凯莱哈密尔顿定理的证法利用数学归纳法证明凯莱哈密尔顿定理为任意一个数域，为数域上的矩阵所构成的集合，是阶的一个单位矩阵，其中的是正整数.根据矩阵的特征根和它对应的特征向量的性质，我们可以直接得到对于任意，存在着可逆矩阵，可使得如下形状的分块矩阵所示其中.引理1可以分成为其中，分别是，阶矩阵，并且．又假设是在数域上的多项式．那么就存在，故可以推得如下面的分块矩阵所示根据引理1可以把凯莱哈密尔顿定理表示为：任意矩阵，，其中为的特征多项式.①时，直接可以看出结论成立.②假设该结论对阶的矩阵仍然成立已知，根据引理1可知存在，使得由归纳假设可以得知，则，因而可以推出证明完毕.利用上三角矩阵证明凯莱哈密尔顿定理引理2设矩阵是属于复数域上的一个阶方阵,则与上三角矩阵相似.证明引理2当时，结论显然成立.假设复数域上任意一个阶方阵都相似于上三角矩阵.设的一个特征值为，特征向量为，将扩充为维向量空间上的一个基.令，那么为可逆矩阵，可以设，其中是阶行矩阵，为方阵.从归纳假设中可以得知存在阶可逆矩阵，使得为上三角方阵，令，为可逆矩阵，推得因为是上三角阵，那么为上三角阵，推得相似于上三角阵.证明完毕.由引理2可以知道存在着可逆矩阵使是上