第3讲 导数与函数的极值、最值.doc

第3讲导数与函数的极值、最值最新考纲考向预测1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．3．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).命题趋势利用导数求函数的极值、最值是高考的热点由函数的极值、最值求参数范围问题仍是高考的难点题型各种类型都有一般难度中等.核心素养数学运算、数学抽象1．函数的极值与导数条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)>0右侧f′(x)<0x0附近的左侧f′(x)<0右侧f′(x)>0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点[提醒](1)函数的极值点一定出现在区间的内部区间的端点不能称为极值点．(2)在函数的整个定义域内极值不一定是唯一的有可能有多个极大值或极小值．(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．2．函数的最值(1)在闭区间[ab]上连续的函数f(x)在[ab]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[ab]上单调递增则f(a)为函数的最小值f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[ab]上单调递减则f(a)为函数的最大值f(b)为函数的最小值．常用结论1．若函数f(x)的图象连续不断则f(x)在[ab]上一定有最值．2．若函数f(x)在[ab]上是单调函数则f(x)一定在区间端点处取得最值．3．若函数f(x)在区间(ab)内只有一个极值点则相应的极值点一定是函数的最值点．常见误区1．对于可导函数f(x)“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．2．求最值时应注意极值点与所给区间的关系关系不确定时需要分类讨论不可直接认为极值就是最值．3．极值只能在定义域内部取得而最值却可以在区间的端点处取得有极值的未必有最值有最值的未必有极值．1.判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．()(2)导数为零的点不一定是极值点．()(3)函数的极大值不一定比极小值大．()(4)函数的极大值一定是函数的最大值．()(5)开区间上的单调连续函数无最值．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√2．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是()A．x＝1B．x＝－1C．x＝1或－1或0D．x＝0解析：选C.因为f(x)＝x4－2x2＋3所以由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0得x＝0或x＝1或x＝－1.又当x<－1时f′(x)<0当－1<x<0时f′(x)>0当0<x<1时f′(x)<0当x>1时f′(x)>0所以x＝01－1都是函数f(x)的极值点．3．(多选)函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示以下命题错误的是()A．－3是函数y＝f(x)的极值点B．－1是函数y＝f(x)的最小值点C．y＝f(x)在区间(－31)上单调递增D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零解析：选BD.根据导函数的图象可知当x∈(－∞－3)时f′(x)<0当x∈(－3＋∞)时f′(x)≥0所以函数y＝f(x)在(－∞－3)上单调递减在(－3＋∞)上单调递增则－3是函数y＝f(x)的极值点因为函数y＝f(x)在(－3＋∞)上单调递增所以－1不是函数y＝f(x)的最小值点因为函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于零所以y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零故错误的命题为BD.4．(易错点)函数g(x)＝－x2的极值点是________函数f(x)＝(x－1)3的极值点________．(填“存在”或“不存在”)解析：结合函数图象可知g(x)＝－x2的极值点是x＝0.因为f′(x)＝3(x－1)2≥0所以f′(x)＝0无变号零点故函数f(x)＝(x－1)3不存在极值点．答案：0不存在5．函数f(x)＝4x－lnx的最小值为________．解析：函数f(x)的定义域为(0＋∞)由题意知f′(x)＝4－eq\f(1x)＝eq\f(4x－1x).令f′(x)>0得x>eq\f(14)令f′(x)<0得0<x<eq\f(14).所以函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0\f(14)))上单调递减在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14)＋∞))上单调递增所以当x＝eq\f(14)时函数f(x)有最小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14)))＝4×eq\f(14)－lneq\f(14)＝1＋ln4＝1＋2ln2.答案：1＋2ln2