【精编】76空间向量及其运算doc高中数学.docx

http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网7.6空间向量及其运算一、选择题1．对于空间三个向量a、b、a＋2b它们一定是()A．共线向量B．共面向量C．不共线向量D．不共面向量答案：B2．若{a、b、c}为空间的一组基底则下列各项中能构成基底的一组向量是()A．aa＋ba－bB．ba＋ba－bC．ca＋ba－bD．a＋ba－ba＋2b解析：若c、a＋b、a－b共面则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b则a、b、c为共面向量此与{a、b、c}为空间向量的一组基底矛盾故ca＋ba－b可构成空间向量的一组基底．答案：C3．P为正六边形ABCDEF外一点O为ABCDEF的中心则等于()A．B．3C．6D．0答案：C4．以下四个命题中正确的是()A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B．若{a、b、c}为空间向量的一组基底则{a＋bb＋cc＋a}构成空间向量的另一组基底C．△ABC为直角三角形的充要条件是＝0D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析：若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)cλ、μ不可能同时为1设μ≠1则a＝eq\f(λ－11－μ)b＋eq\f(λ＋μ1－μ)c则a、b、c为共面向量此与{a、b、c}为空间向量基底矛盾．答案：B二、填空题5．在下列条件中使M与A、B、C一定共面的是________．①；②；③；④；解析：∵∴则、、为共面向量即M、A、B、C四点共面．答案：③6．已知e1、e2、e3为不共面向量若a＝e1＋e2＋e3b＝e1－e2＋e3c＝e1＋e2－e3d＝e1＋2e2＋3e3且d＝xa＋yb＋zc则x、y、z分别为______________．解析：由d＝xa＋yb＋zc得e1＋2e2＋3e3＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x＋y－z)e3∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝1x－y＋z＝2x＋y－z＝3))解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(52)y＝－\f(12)z＝－1.))答案：eq\f(52)－eq\f(12)－17．下列命题中正确的命题个数为________．①；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a与b共面则a与b所在的直线在同一平面内；④若则P、A、B三点共线．答案：1三、解答题8．证明三个向量a＝－e1＋3e2＋2e3b＝4e1－6e2＋2e3c＝－3e1＋12e2＋11e3共面．证明：若e1、e2、e3共面显然a、b、c共面；若e1、e2、e3不共面设c＝λa＋μb即－3e1＋12e2＋11e3＝λ(－e1＋3e2＋2e3)＋μ(4e1－6e2＋2e3)整理得－3e1＋12e2＋11e3＝(4μ－λ)e1＋(3λ－6μ)e2＋(2λ＋2μ)e3由空间向量基本定理可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4μ－λ＝－33λ－6μ＝122λ＋2μ＝11))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝5μ＝\f(12)))即c＝5a＋eq\f(12)b则三个向量共面．9．求证：空间四边形对角线互相垂直的充要条件是对边平方和相等．证明：设＝a＝b＝c充分性证明：则＝a＋b－c.根据已知条件：a2＋(a＋b－c)2＝b2＋c2整理得：a2＋a·b－a·c－b·c＝0即(a＋b)·(a－c)＝0因此AC⊥BD.必要性证明：∵(a＋b)·(a－c)＝0∴a2＋a·b－a·c－b·c＝0.即a2＋(a＋b－c)2＝b2＋c2因此.10．如右图在空间四边形SABC中AC、BS为其对角线O为△ABC的重心试证：(1)；(2)．证明：(1)①②③①＋②＋③得.(2)④⑤⑥由(1)得：.④＋⑤＋⑥得3即SO＝eq\f(13)()．1．已知向量{abc}是空间的一组基底向量{a＋ba－bc}是空间的另一组基底一向量p在基底{abc}下的坐标为(123)求在基底{a＋ba－bc}下的坐标．解答：设p在基底{a＋ba－bc}下的坐标为(xyz)则a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1x－y＝2z＝3))解得eq\b\lc