（通用版）2020版高考数学大一轮复习 第15讲 导数与函数的极值学案 理 新人教A版.docx

15第15讲导数与函数的极值、最值1.函数的极值(1)函数的极小值:函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧,右侧,则点a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.(2)函数的极大值:函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧,右侧,则点b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.2.函数的最值(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值.3.实际应用题理解题意、建立函数模型,使用导数方法求解函数模型,根据求解结果回答实际问题.常用结论导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函数最值关系如下:不等式类型与最值的关系∀x∈D,f(x)>M∀x∈D,f(x)min>M∀x∈D,f(x)<M∀x∈D,f(x)max<M∃x0∈D,f(x0)>M∀x∈D,f(x)max>M∃x0∈D,f(x0)<M∀x∈D,f(x)min<M∀x∈D,f(x)>g(x)∀x∈D,[f(x)-g(x)]min>0∀x∈D,f(x)<g(x)∀x∈D,[f(x)-g(x)]max<0∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)>g(x2)∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)min>g(x2)max(续表)不等式类型与最值的关系∀x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)>g(x2)∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)min>g(x2)min∃x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)>g(x2)∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)max>g(x2)max∃x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)>g(x2)∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)max>g(x2)min(注:上述的大于、小于分别改为不小于、不大于,相应的与最值关系对应的不等号也改变)题组一常识题1.[教材改编]函数f(x)=x3-3x2+1的极小值为.2.[教材改编]函数f(x)=x3-12x在区间[-3,3]上的最大值是.3.[教材改编]当x>0时,lnx,x,ex的大小关系是.4.[教材改编]现有一块边长为a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是.题组二常错题◆索引:利用极值求参数时忽略对所求参数的检验;混淆极值与极值点的概念;连续函数在区间(a,b)上不一定存在最值;不等式问题中的易错点.5.若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则a+b=.6.函数g(x)=-x2的极值点是,函数f(x)=(x-1)3的极值点(填“存在”或“不存在”).7.函数g(x)=x2在[1,2]上的最小值和最大值分别是,在(1,2)上的最小值和最大值均(填“存在”或“不存在”).8.对任意实数x,不等式sinx≤a恒成立,则实数a的取值范围是;存在实数x0,使不等式sinx0≤a成立,则实数a的取值范围是.探究点一利用导数解决函数的极值问题微点1由图像判断函数极值例1[2018·杭州二中模拟]如图2-15-1所示,可导函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线为l:y=g(x).设h(x)=f(x)-g(x),则下列说法正确的是()图2-15-1A.h'(x0)=0,x=x0是h(x)的极大值点B.h'(x0)=0,x=x0是h(x)的极小值点C.h'(x0)=0,x=x0不是h(x)的极值点D.h'(x0)≠0,x=x0不是h(x)的极值点[总结反思]可导函数在极值点处的导数一定为零,是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号.微点2已知函数求极值例2若x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点,则()A.f(x)有极大值-1B.f(x)有极小值-1C.f(x)有极大值0D.f(x)有极小值0[总结反思]求函数极值的一般步骤:①先求函数f(x)的定义域,再求函数f(x)的导函数;②求f'(x)=0的根;③判断在f'(x)=0的根的左、右两侧f'(x)的符号,确定极值点;④求出具体极值.微点3已知极值求参数例3[2018·江西九校二联]若函数f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x有两个极值点,则实数a的取值范围是()A.0,62B.1,62C.-62,62D.63,1∪1,62[总结反思]根据极值求参数的值(或取值范围)就是根据极值点处