（通用版）高考数学大一轮复习 第15讲 导数与函数的极值学案 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学学案.docx

第15讲导数与函数的极值、最值1.函数的极值(1)函数的极小值:函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧右侧则点a叫作函数y=f(x)的极小值点f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.(2)函数的极大值:函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧右侧则点b叫作函数y=f(x)的极大值点f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点极大值和极小值统称为极值.2.函数的最值(1)在闭区间[ab]上连续的函数f(x)在[ab]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[ab]上单调递增则为函数的最小值为函数的最大值;若函数f(x)在[ab]上单调递减则为函数的最大值为函数的最小值.3.实际应用题理解题意、建立函数模型使用导数方法求解函数模型根据求解结果回答实际问题.常用结论导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值各类不等式与函数最值关系如下:不等式类型与最值的关系∀x∈Df(x)>M∀x∈Df(x)min>M∀x∈Df(x)<M∀x∈Df(x)max<M∃x0∈Df(x0)>M∀x∈Df(x)max>M∃x0∈Df(x0)<M∀x∈Df(x)min<M∀x∈Df(x)>g(x)∀x∈D[f(x)-g(x)]min>0∀x∈Df(x)<g(x)∀x∈D[f(x)-g(x)]max<0∀x1∈D1∀x2∈D2f(x1)>g(x2)∀x1∈D1∀x2∈D2f(x1)min>g(x2)max(续表)不等式类型与最值的关系∀x1∈D1∃x2∈D2f(x1)>g(x2)∀x1∈D1∀x2∈D2f(x1)min>g(x2)min∃x1∈D1∀x2∈D2f(x1)>g(x2)∀x1∈D1∀x2∈D2f(x1)max>g(x2)max∃x1∈D1∃x2∈D2f(x1)>g(x2)∀x1∈D1∀x2∈D2f(x1)max>g(x2)min(注:上述的大于、小于分别改为不小于、不大于相应的与最值关系对应的不等号也改变)题组一常识题1.[教材改编]函数f(x)=x3-3x2+1的极小值为.2.[教材改编]函数f(x)=x3-12x在区间[-33]上的最大值是.3.[教材改编]当x>0时lnxxex的大小关系是.4.[教材改编]现有一块边长为a的正方形铁片铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形然后做成一个无盖方盒该方盒容积的最大值是.题组二常错题◆索引:利用极值求参数时忽略对所求参数的检验;混淆极值与极值点的概念;连续函数在区间(ab)上不一定存在最值;不等式问题中的易错点.5.若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10则a+b=.6.函数g(x)=-x2的极值点是函数f(x)=(x-1)3的极值点(填“存在”或“不存在”).7.函数g(x)=x2在[12]上的最小值和最大值分别是在(12)上的最小值和最大值均(填“存在”或“不存在”).8.对任意实数x不等式sinx≤a恒成立则实数a的取值范围是;存在实数x0使不等式sinx0≤a成立则实数a的取值范围是.探究点一利用导数解决函数的极值问题微点1由图像判断函数极值例1[2018·杭州二中模拟]如图2-15-1所示可导函数y=f(x)在点P(x0f(x0))处的切线为l:y=g(x).设h(x)=f(x)-g(x)则下列说法正确的是()图2-15-1A.h'(x0)=0x=x0是h(x)的极大值点B.h'(x0)=0x=x0是h(x)的极小值点C.h'(x0)=0x=x0不是h(x)的极值点D.h'(x0)≠0x=x0不是h(x)的极值点[总结反思]可导函数在极值点处的导数一定为零是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号.微点2已知函数求极值例2若x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点则()A.f(x)有极大值-1B.f(x)有极小值-1C.f(x)有极大值0D.f(x)有极小值0[总结反思]求函数极值的一般步骤:①先求函数f(x)的定义域再求函数f(x)的导函数;②求f'(x)=0的根;③判断在f'(x)=0的根的左、右两侧f'(x)的符号确定极值点;④求出具体极值.微点3已知极值求参数例3[2018·江西九校二联]若函数f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x有两个极值点则实数a的取值范围是()