【中学课件】3-3Cauchy积分公式和高阶导数公式.ppt

1.问题的提出2.Cauchy积分公式证明：以为心作一完全包含于内的圆盘并且记其边界为圆。在上挖去圆盘余下的点集是一个闭区域。在上函数解析由柯西定理有：在这里沿的纠纷是按照区域的正向取的沿的积分是按正向取的即逆时针方向。以下我们证明：定理1对于由条围线所围成的复连通区域仍然有效．（如教材66页定理1那样构成）例1例2关于Cauchy积分公式的说明:例计算积分．解首先识别积分类型．它是具有（*）式左端积分的特征的那类积分．其次将所求积分与（*）式左端的积分比较在形式上是不一样的．但是如果将它变形为例计算积分观察下列等式亦即抽象后有上式是必然的吗？下面的定理给予了回答．高阶导数公式的作用:证利用数学归纳法证明该定理．于是⑵设时题设式子成立证时题设式子成立即证定理2对于由条围线所围成的复连通区域仍然有效．（如教材68页定理2那样构成）例计算积分解首先识别积分的类型．它是具有（*）式左端积分的特征的那类积分．其次将所求积分与（*）式左端的积分比较后知道所求积分在形式上与（*）式左端的积分相同．由此想到用（*）式计算积分．最后经验证所求积分满足定理2的条件由（*）式得例2（1）（2）例34.典型例题例5例6例6由复合闭路定理得例7根据复合闭路原理于是例8例4根据复合闭路原理和高阶导数公式1.调和函数的概念调和函数的概念下面简单推导平面稳定温度场中温度函数是一个调和函数.其中n表示外法线方向.因此通过整个曲线C流出的热量应是即温度分布函数是一个调和函数.2.解析函数与调和函数的关系定理再由二阶导函数的连续性即：区域D内解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.现在会提出如下问题：3.计算实例得解析函数注：此处用到解析函数的唯一性定理。例2所求解析函数为解例3解例1已知在右半平面是调和函数求在该半平面解析的函数使得且两边对求导并且与上面所得的比较有解法2在该右半平面内取点由式（3.1）得某区域内的调和函数是否必是该区域某个解析函数的实部或虚部？讨论下面定理4的反问题即已知是区域内的调和函数利用函数在内解析的充分必要条件求出解析函数使得其实部或者虚部在内为。由于多连通区域用割线可以分成一个或者几个单连通区域因此我们只讨论为单连通区域情形。讨论在单连通区域内已知解析函数的实部求其虚部调和函数。由由于在单连通区域内调和可得因此由本章命题2可以直接求出为其中为任意实常数该积分在内与积分路径无关。可在内取定点和平行于坐标轴的路径来计算。如取从点到点再到点的折线段可得同理在单连通区域内已知解析函数的虚部可求其实部调和函数本章主要内容注意第三章完1642.12.25生于伍尔索普1646.7.1生于莱比锡；P.S.Laplace(拉普拉斯)简介1789.8.21生于法国、巴黎1857.5.23卒于法国、斯科Riemann(黎曼)简介1793.7.14生于诺丁汉1841.5.31卒于剑桥练习：解利用柯西积分公式因此由柯西积分公式得