（整理版）典型例题一.doc

典型例题一例1假设证明〔且〕．分析1用作差法来证明．需分为和两种情况去掉绝对值符号然后比拟法证明．解法1〔1〕当时因为所以．〔2〕当时因为所以．综合〔1〕〔2〕知．分析2直接作差然后用对数的性质来去绝对值符号．解法2作差比拟法．因为所以．说明：解法一用分类相当于增设了条件便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质〔换底公式〕也能到达同样的目的且不必分而治之其解法自然简捷、明快．典型例题二例2设求证：分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数可以作商判断比值与1的大小关系从而证明不等式．证明：∵∴∴.∴又∵∴.说明：此题考查不等式的证明方法——比拟法(作商比拟法).作商比拟法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小.典型例题三例3对于任意实数、求证〔当且仅当时取等号〕分析这个题假设使用比拟法来证明将会很麻烦因为所要证明的不等式中有展开后很复杂。假设使用综合法从重要不等式：出发再恰当地利用不等式的有关性质及“配方〞的技巧可得到证明。证明：∵〔当且仅当时取等号〕两边同加即：〔1〕又：∵〔当且仅当时取等号〕两边同加∴∴〔2〕由〔1〕和〔2〕可得〔当且仅当时取等号〕．说明：此题参考用综合法证明不等式．综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明要注意均值不等式的变形应用一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解．典型例题四例4、、求证分析显然这个题用比拟法是不易证出的。假设把通分那么会把不等式变得较复杂而不易得到证明．由于右边是一个常数故可考虑把左边的式子变为具有“倒数〞特征的形式比方再利用“均值定理〞就有可能找到正确的证明途径这也常称为“凑倒数〞的技巧．证明：∵∴∵同理：。∴说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式．题目中用到了“凑倒数〞这种技巧在很多不等式证明中都可应用但有时要首先对代数式进行适当变形以期到达可以“凑倒数〞的目的．典型例题五例５求证：＞0.分析：此题直接入手不容易考虑用分析法来证明由于分析法的过程可以用综合法来书写所以此题用两种方法来书写证明过程.证明一：(分析法书写过程)为了证明＞0只需要证明＞∵∴∴＞0∴＞成立∴＞0成立证明二：(综合法书写过程)∵∴∴＞＞0∴＞成立∴＞0成立说明：学会分析法入手综合法书写证明过程但有时这两种方法经常混在一起应用混合应用时应用语言表达清楚.典型例题六例6假设且求证：分析这个不等式从形式上不易看出其规律性与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系所以可以采用分析的方法来寻找证明途径．但用“分析〞法证不等式要有严格的格式即每一步推出的都是上一步的充分条件直到推出的条件是明显成立的〔条件或某些定理等〕．证明：为要证只需证即证也就是即证即证∵∴故即有又由可得成立∴所求不等式成立．说明：此题考查了用分析法证明不等式．在题目中分析法和综合法是综合运用的要注意在书写时分析法的书写过程应该是：“欲证……需证……〞综合法的书写过程是：“因为〔∵〕……所以〔∴〕……〞即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混．典型例题七例7假设求证．分析：此题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法．证法一：假设那么而故．∴．从而∴．∴．∴．这与假设矛盾故．证法二：假设那么故即即这不可能．从而．证法三：假设那么．由得故．又∴．∴即．这不可能故．说明：此题三种方法均采用反证法有的推至与矛盾有的推至与事实矛盾．一般说来结论中出现“至少〞“至多〞“唯一〞等字句或结论以否认语句出现或结论肯定“过头〞时都可以考虑用反证法．典型例题八例8设、为正数求证．分析：用综合法证明比拟困难可试用分析法．证明：要证只需证即证化简得．∵∴．∴．∴原不等式成立．说明：1．此题证明易出现以下错误证法：然后分(1)；(2)；(3)且；(4)且来讨论结果无效．2．用分析法证明数学问题要求相邻两步的关系是前一步是后一步的必要条件后一步是前一步的充分条件当然相互为充要条件也可以．典型例题九例9求证．分析：联想三角函数知识进行三角换元然后利用三角函数的值域进行证明．证明：从条件看可用三角代换但需要引入半径参数．∵∴可设其中．∴．由故．而故．说明：1．三角代换是最常见的变量代换当条件为或或时均可用三角代换．2．用换元法一定要注意新元的范围否那么所证不等式的变量和取值的变化会影响其结果的正确性．典型例题十例10设是正整数求证．分析：要求一个项分式的范围它的和又求不出来可以采用“化整为零〞的方法观察每一项的范围再求整体的范围．证明：由得．当时；当时……当时．∴．说明：1、