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优化方程巧解题纵观近年高考解析几何试题都要求同学们具有较高的运算能力。在解析几何中解题方法是否得当常常导致解题的难易、繁简程度的悬殊差异。因此在平时解题时同学们要探求优化运算的方法和技巧降低运算量提高解题能力。下面介绍几种优化抛物线运算的方法。一、设而不求的整体处理在求抛物线方程时常会遇到两曲线的交点及相关点的问题假设设而不求整体处理可简捷求解。例1过抛物线上一点A〔42〕作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点求证：直线BC的斜率为定值。解析：设B〔〕C〔〕那么。由题意得那么。故为定值。二、点差法在抛物线中直线与抛物线相交弦的中点问题是个重点也是高考热点。其解法多种多样点差法是简捷而巧妙的解题方法之一。例2给定抛物线过点B〔24〕能否作直线l使l与抛物线交于两点且点B是线段的中点？这样的直线如果存在求出它的方程；如果不存在说明理由。解析：设〔〕〔〕代入抛物线方程得。两式相减并分解因式得：∵B〔24〕是的中点代入上式得即。假设直线l存在那么方程为即。将代入抛物线方程得。因为其判别式△<0故此直线与抛物线不相交这样的直线不存在。三、巧用韦达定理抛物线中涉及到弦长、弦中点、曲线与直线交点以及原点为垂足的垂直问题运用韦达定理可防止求交点坐标从而简化解题过程。例3直线l：交抛物线于A、B两点当△AOB〔O为原点〕的面积为2时求实数k的值。分析：因直线l与y轴的交点为M〔01〕而△AOB的面积等于△AOM和△BOM的面积之和假设△AOM和△BOM都以OM为底边这样△AOB面积就与A、B两点的坐标相联系。解析：设A〔〕B〔〕那么即把代入中得。因此。代入上式得解得。四、常数代换化成齐次方程抛物线弦的两端点与原点连线的斜率问题具有一定的难度和深度假设用常规方法解决运算量大过程复杂但化为齐次方程过程简洁。例4抛物线与过点M〔0－1〕的直线l相交于A、B两点O为坐标原点假设直线OA与OB的斜率之和为1求直线l的方程。分析：用常规方法去解相当麻烦。但假设把直线方程设出来用含有x、y的式子来表示常数项代入到抛物线方程中可得一个关于x、y的齐次方程运用韦达定理即可解决问题。解析：设直线l的方程为即代换抛物线方程中的系数1得整理得关于xy的齐次方程。方程两边同时除以得显然是该方程的两根。由条件可知。故直线l的方程是。