函数的性质二高三数学课件 新课标 人教.ppt

函数的性质（二）（三）函数的周期性2．类比“三角函数图象”得：①若y=f(x)图像有两条对称轴x=ax=b(a≠b)则y=f(x)必是周期函数且一周期为T=2|a−b|；②若y=f(x)图像有两个对称中心A(a0)、B(b0)(a≠b)则y=f(x)是周期函数且一周期为T=2|a−b|；③如果函数y=f(x)的图像有一个对称中心A(a0)和一条对称轴x=b(a≠b)则函数y=f(x)必是周期函数且一周期为T=4|a−b|；例：已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数则方程f(x)=0在[−22]上至少有__________个实数根。3．由周期函数的定义推得：①函数f(x)满足f(x+a)=−f(x)(a>0)则f(x)是周期为2a的周期函数；例：(1)设f(x)是(−∞+∞)上的奇函数f(x+2)=−f(x)当0≤x≤1时f(x)=x则f(47.5)等于.（3）已知f(x)是偶函数且f(1)=993g(x)=f(x－1)是奇函数则f(2007)的值是.（四）抽象函数1．借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数：2．利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究（2）设f(x)是定义在实数集R上的函数且满足f(x+2)=f(x+1)−f(x)如果f(1)=lg(3/2)f(2)=lg15则f(2007)=。（3）设f(x)是定义在R上的奇函数且f(x+2)=−f(x)证明：直线x=1是函数y=f(x)图象的一条对称轴.3．利用一些方法（如赋值法（令x＝0或1求出f(0)或f(1)、令y=x或y=−x等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。（2）若x∈Rx≠0f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)则f(x)的奇偶性是_____________综合应用例二、设定义在R上的函数f(x)的最小正周期为2且在区间(35]内单调递减则a＝f(－log0.52)、b＝f(－4)和c＝f(－π)的大小关系是。(按从小到大的顺序)O123x例五、设函数y＝f(x)是奇函数对于任意x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且当x>0时y<0f(1)＝－2求函数y＝f(x)在区间[－33]上的最大值和最小值。例六、设函数f(x)的定义域为R且在定义域R上总有f(x)=−f(x+2)又当−1≤x≤1时f(x)=x2+2x（1）当3<x≤5时求f(x)的解析式。（2）试判断函数f(x)在(35]上单调性并给予证明。分析：证明函数单调性用单调性定义。解:(1)∵f(x+4)=f(x+2+2)=−f(x+2)=f(x)当3<x≤5时−1<x−4≤1依题意知f(x)=f(x−4)=(x−4)2+2(x−4)=x2−6x+8(3<x≤5)（2）证明任取x1x23<x1<x2≤5f(x1)−f(x2)=x12−6x1+8−x22+6x2−8=(x1−x2)(x1+x2−6)<0∵x1−x2<0x1+x2−6>0∴f(x1)<f(x2)f(x)在(35]上为增函数。反思：本题由条件f(x)=−f(x+2)比较隐蔽注意挖掘。例七、设f(x)是定义在R上的偶函数其图象关于直线x=1对称对于任意x1、x2∈[0]都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)且f(1)=a>0（1）求f()及f()（2）证明f(x)是周期函数（3）记an=f(2n+)求解:(1)f(1)=f(+)=f2()=a>0∴f()=又f()=f(+)=f2()=∴f()=(2)∵f(x)图象关于x=1对称即f(1+x)=f(1−x)∴f(x)=f(2−x)=f(−x)∴f(x)=f(x+2)(x∈R)即f(x)是以2为周期的周期函数。(3)∵f(x)0x∈[01]f(1)=f(2n·)=f(++…+)=[f()]2n而f()=af(x)的周期为2∴f(2n+)=f()=a=an∴