2018版高考数学考点36椭圆试题解读与变式.doc

22考点36椭圆【考纲要求】（1）了解椭圆的实际背景了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.；（3）了解椭圆的简单应用；（4）理解数形结合的思想．【命题规律】高考对椭圆的考查多以解答题的形式考查也有少数年份在客观题中进行考查．以选择题、填空题的形式考查椭圆的定义、焦点坐标、离心率、标准方程等问题；以解答题的形式考查椭圆的性质、直线与椭圆的关系、与其它知识交汇（如平面向量）涉及到最值问题、定值（定点）问题、几何量的取值范围问题以及存在型探索性问题．预计2018年高考对椭圆的命题有以下特点：（1）以选择题或填空题考查椭圆的定义和性质难度中等；（2）以解答题形式重点考查椭圆的综合问题多与直线结合进行命题难度较大．【典型高考试题变式】（一）椭圆的标准方程【例1】【2016天津卷】设椭圆的右焦点为右顶点为.已知其中为原点为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）略．【答案】.【方法技巧归纳】根据条件求椭圆方程常用的主要方法有：（1）定义法定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义；（2）待定系数法待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数.当不知焦点在哪一个坐标轴上时一般可设所求椭圆的标准方程为再用待定系数法求出的值即可.【变式1】【变换条件求椭圆方程】在平面直角坐标系中椭圆的离心率为直线与椭圆相交于两点则椭圆的标准方程为______．【答案】【解析】由离心率不妨设则椭圆方程为：与直线联立可得且由弦长公式解得据此可得椭圆方程为．【变式2】【变为利用点差法求椭圆标准方程】已知椭圆的右焦点为过点的直线交于两点．若的中点坐标为则的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线的斜率两式相减得即∴即解得：方程是故选D．（二）椭圆的定义的应用【例2】【2014全国大纲卷】已知椭圆：的左、右焦点为、离心率为过的直线交于两点若的周长为则的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【方法技巧归纳】椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当在椭圆上时与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”利用定义可求其周长利用定义和余弦定理可求通过整体代入可求其面积等．【变式1】【由利用定义根据周期求方程变为利用椭圆定义求周长】过椭圆的左焦点作直线交椭圆于两点是椭圆右焦点则的周长为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】（1）因为椭圆为所以椭圆的半长轴由椭圆的定义可得且的周长为故选A．【变式2】【变周长问题为面积问题】若椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直则的面积为（）A．36B．16C．20D．24【答案】B【解析】设则即又故选B．（三）椭圆的几何性质【例3】【2017全国新课标3卷】已知椭圆：的左、右顶点分别为A1A2且以线段为直径的圆与直线相切则C的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点半径为圆的方程为直线与圆相切所以圆心到直线的距离等于半径即整理可得即即从而则椭圆的离心率故选A．【方法技巧归纳】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种常用方法：（1）求出代入公式；（2）根据条件得到关于的齐次式结合转化为关于的齐次式然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)解方程(不等式)即可得的值或取值范围．【变式1】【变题圆的位置与大小】设分别是椭圆的左、右焦点与直线相切的交椭圆于点且点恰好是直线与的切点则椭圆的离心率为()A．B．C．D．【答案】C【解析】（1）依题意直线与相切所以的半径为所以由椭圆的定义有根据点E为直线与相切的切点所以由勾股定理有而化简有所以故椭圆离心率故选C．【变式2】【变直线与圆相切为三角形外接圆】椭圆的左焦点为上顶点为右顶点为若的外接圆圆心在直线的左下方则该椭圆离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设且的外接圆的方程为将分别代入可得由可得即所以即则所以故选A．（四）直线与椭圆的位置关系【例4】【2017全国新课标Ⅰ卷】已知椭圆：四点中恰有三点在椭圆上．（1）求的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于AB两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1证明：l过定点．【答案】（1）．（2）见解析。【解析】（1）由于两点关于y轴对称故由题设知C经过两点．又由知C不经过点P1所以点P2在C上．因此解得故C的方程为．（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1k2如果l与x轴垂直设l：