2019_2020学年高中数学第一章计数原理1.doc

-4-1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质【基础练习】1．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中记xmyn项的系数为f(mn)则f(30)＋f(21)＋f(12)＋f(03)＝()A．45B．60C．120D．210【答案】C2．(2018年宁波模拟)若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6且a1＋a2＋…＋a6＝63则实数m的值为()A．1或3B．－3C．1D．1或－3【答案】D3．设m为正整数(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b则m＝()A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为Ceq\o\al(m2m)即a＝Ceq\o\al(m2m).同理b＝Ceq\o\al(m2m＋1)∴13Ceq\o\al(m2m)＝7Ceq\o\al(m2m＋1)即eq\f(13·2m！m！m！)＝eq\f(7·2m＋1！m！m＋1！)∴eq\f(72m＋1m＋1)＝13解得m＝6.4．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11则a0＋a1＋a2＋…＋a11等于()A．－2B．－1C．1D．2【答案】A【解析】令x＝－1得[(－1)2＋1]×[2×(－1)＋1]9＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.故选A.5.(2019年六安期末)在(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)8的展开式中含x2项的系数是________.(结果用数值表示)【答案】84【解析】展开式中含x2项的系数是C22+C32+C42+C52+C62+C72+C82=C33+C32+C42+C52+C62+C72+C82=C93=84.6．如图是一个类似杨辉三角的递推式则第n行的首尾两个数均为________．【答案】2n－17．(1－x)5(3＋2x)9＝a0(x＋1)14＋a1(x＋1)13＋…＋a13(x＋1)＋a14求：(1)a0＋a1＋…＋a14的值；(2)a1＋a3＋…＋a13的值．【解析】(1)令x＝0得a0＋a1＋…＋a14＝39.(2)设A＝a0＋a2＋…＋a14B＝a1＋a3＋…＋a13则有A＋B＝39.令x＝－2有A－B＝－35联立方程组解得a1＋a3＋…＋a13＝eq\f(39＋352).8．在(3x－2y)20的展开式中求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项．【解析】(1)二项式系数最大的项是第11项T11＝Ceq\o\al(1020)·310·(－2)10·x10y10＝Ceq\o\al(1020)·610·x10y10.(2)设系数绝对值最大的项是第r＋1项于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r20)·320－r·2r≥C\o\al(r＋120)·319－r·2r＋1C\o\al(r20)·320－r·2r≥C\o\al(r－120)·321－r·2r－1.))化简得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3r＋1≥220－r221－r≥3r.))解得7eq\f(25)≤r≤8eq\f(25).所以r＝8即T9＝Ceq\o\al(820)·312·28·x12y8是系数绝对值最大的项．(3)由于第9项系数绝对值最大且为正所以第9项系数最大．T9＝Ceq\o\al(820)·312·28·x12y8.【能力提升】9.(2019年广东深圳模拟)已知(1+eq\f(ax))(2x-eq\f(1x))5的展开式中各项系数的和为2则该展开式中常数项为()A.-80B.-40C.40D.80【答案】D【解析】令x=1可得展开式中各项系数的和为(1+a)(2-1)5=2解得a=1则(1+eq\f(ax))(2x-eq\f(1x))5=(2x-eq\f(1x))5+eq\f(1x)(2x-eq\f(1x))5.其中(2x-eq\f(1x))5的展开式的通项为Tr+1=C5r(2x)5-r(-eq\f(1x))r=(-1)r25-rC5rx5-2r其中不含常数项令r=2得T3=80x所以该展开式中常数项为80.故选D.10．若(x＋1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0则(a5＋a3＋a1)2－(a4＋a2＋a0)