浅谈空间向量在立体几何解题中的应用.docx

浅谈空间向量在立体几何解题中的应用摘要：向量是数学中一种重要的工具也是中学教材中新增的内容在高中数学中占有重要的地位.主要针对利用向量来解决立体几何问题给出一般性方法.关键词：向量；法向量；立体几何人教A版高中数学选修2-1介绍了法向量的概念法向量的引入为解决立体几何提供了一个强有力的工具.但教材对于空间夹角和距离问题与法向量的结合介绍得较少法向量没有得到很好的运用.笔者在教学过程中发现在教学中适度地增加一点这部分知识和方法十分必要并且能收到较好的教学效果.下面举例说明向量在立体几何解题中的一些运用.一、用法向量求空间夹角1.直线与平面所成角例1.如图1正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直M是CE和AD的交点ACBC且AC=BC.求直线AB与平面EBC所成的角的大小.使用向量就不需要作出直线和平面所成角的平面角直接计算直线的方向向量和平面的法向量的夹角余弦值的绝对值就是直线和平面所成角的正弦值.2.二面角例2.如例1中求二面角A-BE-C的大小.使用向量就不需要再作出二面角的平面角直接计算两半平面法向量夹角的余弦值最后观察图形判断是这个角还是这个角的补角.二、用向量求空间距离1.异面直线间的距离使用向量就不需要作出两异面直线的公垂线段只要计算出两异面直线的公垂向量在两异面直线上分别任取一点用这两点组成向量然后利用公式计算即可.2.点到面的距离例4.如例1中求点M到平面EBD的距离.使用向量就不需要作出垂线段只要在平面内任取一点和平面外的点组成向量再求出平面的法向量然后利用公式计算即可.三、用向量求解立体几何中的探究性问题从近几年向量在高考命题中的发展趋势看以看出高考立体几何解答题的标准答案都是采用向量法或传统的综合几何法比较而言传统几何法需要添加辅助线、对空间想象能力与逻辑推理能力有较高的要求这往往是大部分学生的难点.而用向量法解决立体几何就是求直线的方向向量、平面的法向量按照空间角的计算公式进行计算也就是把几何问题公式化和代数化了它可以避免添加辅助线以及对图形的分析、想象使得立体几何题容易上手.（作者单位福建省沙县金沙高级中学）