空间向量在立体几何问题中的应用.doc

空间向量在立体几何中的应用
以下是平面的法向量。
直线与平面平行与垂直的判定
1．
2．
平面与平面平行与垂直
1．
2．

立体几何中的角
1．异面直线所成的角

2.平面与平面所成的角
(图一)或（图二）

（图一）（图二）

立体几何中的各种距离
1．点到平面的距离
由

M
异面直线的距离
由B
N
其中是异面直线、的公垂线段的方向向量。
即
应用举例：
例1．（2005年全国高考试题一）已知四棱锥的底面为直角梯形，AB//CD，，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点。
证明：平面PAD平面PCDPZ
求AC与PB所成的角
求平面AMC与平面BMC所成二面角的大小M
ABY

X
证明：（1）取如图坐标系。CD
则P（0，0，），D（，0，0），（，，0），B（0，1，0），M（0，，）是平面PAD的一个法向量。设是面PCD的法向量,
由（1）
由
（1）（2）取
平面PADPCD
（2）

AC与PB所成的角为
（3）设是平面AMC的法向量
由

取
设是平面BMC的法向量
由

由（1）（2）取y=1,得

，平面AMC与平面BMC所成的角为
简评一：用上述基本命题求解立体几何中的问题，基本技能明显，易于操作。
例2．（2005年高考湖北卷）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，为的中点。
求直线与所成角的余弦值
在侧面内找一点，使面，并求出点到和的距离
解：取如图空间直角坐标系
则
Z
设与所成的角为，则P
E

（2）设XABY
由
由
到AB与PB的距离分别为1，
简评二：设出点的坐标，用向量运算列出方程来待定它，思路简洁明快。

例3．（2005年高考重庆卷）如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于、的一点，，已知求
异面直线与的距离
二面角的平面角的正切值
解：取如图所示空间直角坐标系，由得

AZ
或（舍去）
设是异面直线AB、E方向向量，BY
由CXE
由
（1）（2）取
设AB与EB的距离为，则

（2）设是平面的法向量，则

（1）（2）取
设是平面的法向量，由
（3）（4）取
设所求二面角的平面角为，则

简评三：求异面直线的距离，利用两条异面直线的方向向量，避免了求公垂线段的难度。
例4.(2005年江西卷)在长方体中，点E在棱AB上移动。
（1）证明：
（2）当E为AB的中点时，求点E到面距离
AE等于何值时，二面角的大小为
解：取如图所示空间直角坐标系
设则
（1）

（2），设是平面的法向量，
由
由
（1）（2）取
设E到平面的距离为，则

（3）平面CDE的法向量为
设是平面的法向量
由

(1)(2)取
由

简评四：对于探索性问题，采取逆向探求方法求解。用向量方法先设出未知数，引入方程，体现出几何与代数的相互联系与转化，这正是解析几何的优越性之所在。