求解圆锥曲线中参数范围的若干途径.docx

求解圆锥曲线中参数范围的若干途径探求圆锥曲线中参数的取值范围是高考考查的热点.解决这类问题的关键是构建与参数有关的不等式（组）.本文结合实例介绍构建不等关系的若干途径.一、利用三角形中的三边关系构建不等关系椭圆或双曲线上任意一点与它们的两个焦点可能构成一个三角形具有这一背景的锥曲线求参问题往往可以利用三角形两边之和大于第三边产生的不等关系来确定参数的范围.例1已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0b>0）的左右两个焦点分别为F1、F2左准线为l在双曲线的左支上存在一点P使|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项求双曲线的离心率e的取值范围.解析由|PF1|2=d|PF2||PF1|d=|PF2||PF1|=e可得|PF2|=e|PF1|①及|PF1|=ed.②又|PF2|=2a+|PF1|③由①、③得|PF1|=2ae-1|PF2|=2eae-1.在PF1F2中|PF1|+|PF2|≥|F1F2|即2ae-1+2eae-1≥2ce+1e-1≥e1-2≤e≤1+2.又e>11评注不等关系“|PF1|+|PF2|≥|F1F2|”中等号成立时P在双曲线的顶点处.二、利用判别式构建不等关系若含有参数a的关系式变形后可转化为某一实变量x（或y）的二次（或双二次）方程而参数a含于系数之中那么就可以根据x或y为实数的条件Δ=f（a）≥0或韦达定理得出关于a的不等式（组）从而求得a的取值范围.例2已知抛物线y2=2px（p>0）上存在关于直线x+y=1对称的相异两点求实数p的取值范围.解析设抛物线上关于直线x+y=1对称的两点是M（x1y10N（x2y2）设直线MN的方程为y=x+b代入抛物线方程得x2+（2b-2p）x+b2=0则x1+x2=2p-2by1+y2=（x1+x2）+2b=2p.设MN的中点为P则点P的坐标为（p-bp）.又点P在直线x+y=1上2p-b=1即b=2p-1.又由M、N是不同的两点则Δ=（2b-2p）2-4b2=4p2-8bp>0.将b=2p-1代入得4p2-8p（2p-1）>0解得0评注解决本题的关键是建立方程运用判别式找到了关于p的不等关系.三、利用点与圆锥曲线的位置关系构建不等关系对于任意点P（x0y0）若点P在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）内（外）则x20a2+y20b21）.双曲线和抛物线也有相应结论.运用这些结论构建不等关系可使圆锥曲线中的参数范围问题快速获解.例3已知点A（x1y1）、C（x2y2）为椭圆x225+y29=1上两动点且x1+x2=8若AC的垂直平分线方程为y=kx+m求实数m的取值范围.解析设AC的中点为P（4y0）则由A、C在椭圆上得9x21+25y21=2259x22+25y22=225.两式相减得9（x1+x2）+25（y1+y2）・y1-y2x1-x2=0（x1≠x2）即9×8+25×2y0（-1k）=0（k≠0）.又P（4y0）在y=kx+m上y0=4k+m.由①、②解得y0=-9m16.又P（4y0）在椭圆内部4225+y209将y0=-9m16代入③解得-165评注本文例2也可运用上述结论构建不等关系求参数的取值范围.四、利用基本不等式构建不等关系将题设中的等量关系通过基本不等式转化为不等关系是探求圆锥曲线中参数范围的有效途径.例4已知直线l过定点A（30）倾斜角为α若曲线E：y=x2的所有弦都不能被直线l垂直平分求直线l斜率的取值范围.解析（1）当直线l的斜率为0或不存在时符合题意.（2）当直线l的斜率存在且不为0时设其为k直线l的方程为y=k（x-3）被它垂直平分的弦的两端点为B（t1t21）C（t2t22）则弦BC的中点P的坐标为（t1+t22t21+t222）（t1≠t2）kBC=t1+t2.当弦BC被垂直平分时有t1+t2=-1kt21+t222=k（t1+t22-3）t1t2=12（1k2+6k+1）.再利用t1t2符合题意的直线斜率范围为[-12+∞）.评注上述解题过程运用了补集法即先求弦能被l垂直平分时l的斜率取其补集就是满足题设的斜率.在这一过程中利用基本不等式“ab≤（a+b2）2（当a=b时等号成立）”构建不等关系是关键一步.五、利用题设中已有的不等式构建不等关系若题设中有关于其中一个参数的不等式则只要考虑能否找到所求参数和