构造对偶式 妙证不等式.docx

构造对偶式妙证不等式构造对偶式是指在解题过程中抓住代数式的结构特征构造一个与其结构相似或相近并具有某种对称关系的代数式而后通过对这组对偶关系式进行加、减、乘、除等运算促使问题的转化与解决.构造相应的对偶式使其结构更加均衡体现了数学的对称美和构造美.下面我们通过实例来介绍构造对偶式的几种常用方法以及如何对所构造的对偶关系式进行合适的处理.1构造“错位”对偶关系式例1设xyz∈R+求证：z2-x2x+y+x2-y2y+z+y2-z2z+x≥0.（W.Janoux猜想）分析本题的证法很多有分母置换法、排序不等式法、函数思想法、对偶法等等其中对偶法最为精彩.证明设M=z2-x2x+y+x2-y2y+z+y2-z2z+xN=x2-y2z+x+y2-z2x+y+z2-x2y+z则M+N=0.而M-N=（z2-x2x+y-z2-x2y+z）+（x2-y2y+z-x2-y2z+x）+（y2-z2z+x-y2-z2x+y）=（z+x）（z-x）2（x+y）（y+z）+（x+y）（x-y）2（y+z）（z+x）+（y+z）（y-z）2（z+x）（x+y）≥0.所以M≥0故原不等式成立.例2若αβγ为锐角且cos2α+cos2β+cos2γ=1求证：cot2α+cot2β+cot2γ≥32.证明设M=cot2α+cot2β+cot2γ=cos2αsin2α+cos2βsin2β+cos2γsin2γN=cos2βsin2α+cos2γsin2β+cos2αsin2γP=cos2γsin2α+cos2αsin2β+cos2βsin2γ.则N+P=3M+N=sin2γsin2α+sin2αsin2β+sin2βsin2γ≥3M+P≥3.所以2M+（N+P）≥6M≥32.故原不等式成立.2构造“倒序”对偶关系式例3已知a、b∈R+且1a+1b=1试证：对每一个n∈N+（a+b）n-an-bn≥22n-2n+1.（1988年全国高中数学联赛试题）证明设M=（a+b）n-an-bn=C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Cn-1nabn-1N=Cn-1nabn-1+Cn-2na2bn-2+…+C1nan-1b.显然M=N两式相加得2M=C1n（an-1b+abn-1）+C2n（an-2b2+a2bn-2）+…+Cn-1n（abn-1+an-1b）≥2anbn（C1n+C2n+…+Cn-1n）≥2（ab）n2（2n-2）.由条件得ab≥4所以M≥4n2（2n-2）=22n-2n+1.故原不等式成立.3构造“加减”对偶关系式例4已知函数f（x）=x+x2-3x+2证明：2≤f（x）或1≤f（x）0求证：x+1x-x+1x+1≤2-3.证明设M=x+1x-x+1x+1构造M的辅助对偶式：N=x+1x+x+1x+1则有M・N=1且N≥2+3从而1=M・N≥（2+3）M因为M>0可得M≤2-3.即原不等式成立.4构造“互余”对偶关系式例6若α>0β>0α+β≤π且0≤λ≤1则有cos2λα+cos2λβ-2cosλα・cosλβ・cosλπ≥sin2λπ.（杨乐不等式）证明设M=cos2λα+cos2λβ-2cosλα・cosλβ・cosλπN=sin2λα+sin2λβ-2sinλα・sinλβ・cosλπ.则M+N=2-2cosλπ・cosλ（α-β）.（1）M-N=cos2λα+cos2λβ-2cosλπ・cosλ（α+β）=2cosλ（α+β）[cosλ（α-β）-cosλπ].因为α>0β>0α+β≤π且0≤λ≤1所以λ（α-β）≤λ（α+β）≤λπ≤π.因为y=cosx在0π上是减函数所以cosλ（α+β）≥cosλπcosλ（α-β）-cosλπ≥0所以M-N≥2cosλπ・cosλ（α-β）-2cos2λπ.（2）（1）+（2）得：2M≥2-2cos2λπ所以M≥sin2λπ.故原不等式成立.5利用“m2n与mn2互配”构造对偶关系式例7设abc是某个三角形的三边长求证：a2（b+c-a）+b2（c+a-b）+c2（a+b-c）≤3abc.（第6届IMO试题）证明设M=a2（b+c-a）