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构造对偶式证明不等式
山东省平度第一中学数学组王尊甫（266700）
例1（2009广东卷理）：已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
解：（1），∴
（2）证明：方法一：数学归纳法(略)
方法二：（放缩法）∵.

∴
由于，可令函数，即可证明。
则有，即..
方法三：设{an}的前n项积为Tn,，则可求，下面即可轻松证明，使左侧不等式得证。
方法四：，可求知，故，则，即证。
方法五：由题意知，
记，构造对偶式，显然且，故，即证。
例2(2009山东卷理)：等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（11）当b=2时，记.
证明：对任意的，不等式成立
解:（1）,
（2）当b=2时，,
则,所以.
下面证明不等式成立.
方法一：数学归纳法（略）
方法二：（放缩法）先行证明：(可此时却产生一个令人纠结的问题：放缩到什么程度才是适合的。故此法技巧性要求高)，然后累积法证明。
方法三：设数列｛cn｝的前n项积为Tn=，则可求知。此时，若能证明，则本题即可轻松证明。
方法四：由题意知，
记，构造对偶式，显然，且，故，即证。
例3：设数列的前n项和为，已知，
（1）设，求数列的通项公式；
（2）若，证明，对任意的，不等式恒成立。
证明：（1）略；
（2）方法一：设数列的前n项和为，可求知，作差比较可知（可使用二项展开式进行判断），即，故结论可证。
方法二：记，可求知，故，则，即证。
方法三：由题意知，记，构造对偶式，，显然且，故，即证。