小议一道课本习题的拓展与解法.docx

小议一道课本习题的拓展与解法在《数学》九年级上册（人教版）的中有一道习题：4.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径它获得食物的概率是多少？解：如图2在岔路口和树枝末端分别标上字母A、B、C、D、E、F、G、H、I、J则蚂蚁所有可能经过的路径有：ABEABFACGACHADIADJ共6种等可能的结果而能获取食物的可能结果有2种即ACG和ADI所以蚂蚁获取食物的概率是：P（获取食物）=26=13.但是当我在B、C、D任何一个岔路口再增减一个路口（树枝）如图3在B处增加路径BK问学生：“这时蚂蚁获得食物的概率又是多少呢？”学生有了前面的知识和解题经验很快就回答出来了：因为增加了路径BK所以所有可能经过的路径就有7条而能获得食物的路径仍是2条根据概率的计算方法蚂蚁获得食物的概率是：P（获得食物）=27.我说：“实际上正确的答案仍是13.”学生说：“我们可是按照你教的方法来解的啊！”我说：“不错你们把所有可能经过的路径都找出来了但你们再仔细想一想选择这些路径的可能性相同吗？”以学生现有的知识确实难以判断于是我和学生一起进行了以下分析：蚂蚁在A处的时候选择AB、AC、AD的可能性都是13（它们的和为1）若蚂蚁到达了B处选择BK、BE、BF的可能性都是13（它们的和为13）则选择路径ABK、ABE、ABF的可能性都是13×13=1９；若蚂蚁到达了C处选择CG、CH的可能性都是12（它们的和为13）则选择路径ACG、ACH的可能性都是12×13=16；同理不难计算出选择路径ADI、ADJ的可能性是16.因此增加了树枝BK后蚂蚁可能所经过的路径不是等可能的了就不能直接用公式P=mn来计算了.下面给出这道变式题的正解：解法1：因为蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径所以蚂蚁在A处选择AB、AC、AD这3条路径的可能性相等所以P（选择AC）=13.因为蚂蚁在C处选择CG、CH这2条路径也是等可能的（它们的和为13）所以P（选择ACG）=12×13=16同理P（选择路径ADI）=16.所以P（蚂蚁获得食物）=P（选择路径ACG）+P（选择路径ADI）=16+16=13.或者根据事件的独立性利用乘法公式来求解：解法2：因为蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径所以蚂蚁在A处选择AB、AC、AD这3条路径的可能性相等所以P（选择AC）=13.因为蚂蚁在C处选择CG、CH这2条路径也是等可能的所以P（选择CG）=12.又因为在A处选择路径和在C处选择路径是互相独立的所以P（选择路径ACG）=P（选择AC）P（选择CG）=13×12=16.同理P（选择路径ADI）=P（选择AD）P（选择DI）=13×12=16所以P（蚂蚁获得食物）=P（选择路径ACG）+P（选择路径ADI）=16+16=13.解法3：P（蚂蚁获得食物）=13×0+13×12+13×12=13.