一道课本习题变式的解法初探.docx

一道课本习题的变式练习的解法初探著名特级教师孙维刚老师说过：“做题要一题多解、多题一解、多解归一。”根据这个要求，我对课本的一道习题的变式练习进行初步探究，将其解法展示如下，就教于同行。其余条件不变，当点Ｅ是BC边上任意一点时，AE=EF是否还成立？若成立请写出证明过程。解法1：如图，在AB上截取AH=CE，易证△AHE≌△ECF。解法2：如图，∵∠AEF=∠ACF，∴A、E、C、F四点共圆，∴∠AFE=∠ACE=45°，∴∠EAF=∠AEF-∠AFE=45°，∴∠AFE=∠EAF，∴AE=EF。解法3：作FH⊥BC延长线于点H，易证△ABE∽△EHF。∴=====1,，∴AB=EH，BE=FH，∴△ABE≌△EHF。∴AE=EF。类比变式（1）的解法可得下面各题的解法。如下图：当点Ｅ是BC延长线上任意一点时，问AE=EF是否成立？解法1：如图，延长BA至AH，使得AH=CE，则BH=BE,∴∠BHE=∠BEH，又∠DAE=∠AEB，∠HAE=∠HAD+∠DAE，∠CEF=∠AEB+∠AEF，∴∠HAE=∠CEF,∴△AHE≌△ECF。∴AE=EF。解法2：如图，∵∠AEF=∠ACF，∴A、E、C、F四点共圆，∴∠EAF=∠FCE=45°，∴∠AFE=∠AEF-∠EAF=45°，∴∠AFE=∠EAF，∴AE=EF。解法3：作FH⊥BC延长线于点H，易证△ABE∽△EHF。∴=====1,，∴AB=EH，BE=FH，∴△ABE≌△EHF。∴AE=EF。(３)如下图：当点Ｅ是CB延长线上任意一点时，问AE=EF是否成立？解法1：如图，延长AB至BH，使得BH=BE，则有AH=CE，∠BHE=∠BEH＝45°＝∠ECF，又∵∠AEB+∠HAE=∠AEB+∠CEF,∴∠HAE=∠CEF,∴△AHE≌△ECF。∴AE=EF。解法2：如图，∵∠AEF+∠ACF=180°，∴A、E、C、F四点共圆，∵∠ACE=∠FCE，∴AE=EF。解法3：作FH⊥BC于点H，易知FH=HC,易证△ABE∽△EHF。∴=====1,∴AB=EH，BE=FH，∴△ABE≌△EHF。∴AE=EF。（４）把正方形改成等边三角形看看。如上图所示，∠AEF=60°，证明AE=EF。解法1略解法2：∵∠AEF=∠ACF，∴A、E、C、F四点共圆，∴∠AFE=∠ACE=60°=∠AEF，∴△AEF是等边三角形∴AE=EF。解法3：作FH〃AC交BC延长线于点H，易证△ABE∽△EHF。∴=====1,，∴AB=EH，BE=FH，∴△ABE≌△EHF。∴AE=EF。（５）：如图所示，点E在BC延长线上，∠AEF=60°，证明AE=EF。解法1：如图，延长BA至AH，使得AH=CE，则BH=BE,∴∠AHE=∠BEH=∠B=60°,∴∠AHE=∠ECF，∠HAE=∠B+∠AEB，∠CEF=∠AEB+∠AEF，∴∠HAE=∠CEF,∴△AHE≌△ECF。∴AE=EF。解法2：如图，∵∠AEF=∠ACF，∴A、E、C、F四点共圆，∴∠EAF=∠FCE=60°=∠AEF，∴△AEF是等边三角形∴AE=EF。解法3：作FH〃AC交BC延长线于点H，易证△ABE∽△EHF。∴=====1,，∴AB=EH，BE=FH，∴△ABE≌△EHF。∴AE=EF。（６）：如图所示，点E在CB延长线上，∠AEF=60°，证明AE=EF。解法1：如图，延长AB至BH，使得BH=BE，则有AH=CE，∠BHE=∠BEH＝60°＝∠ECF，又∵∠AEB+∠HAE=∠AEB+∠CEF，∴∠HAE=∠CEF，∴△AHE≌△ECF。∴AE=EF。解法2：如图，∵∠AEF+∠ACF=180°，∴A、E、C、F四点共圆，∵∠AFE=∠ACE=60°=∠AEF，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF。解法3：如图，过F作FH〃ＡC交BC于点H，易知FH=HC,∵∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠CEF，∴∠BAE=∠CEF，又∠ABE=∠EHF，∴△ABE∽△EHF。∴=====1,∴AB=EH，BE=FH，∴△ABE≌△EHF。∴AE=EF。若把正方形改成正五边形呢？（７）：如上图，∠AEF=108°，证明AE=EF。解法1略解法2：易知∠ACE=∠BAC=∠DCF=36°，可得∠AEF=∠ACF，∴A、E、C、F四点共圆，∴∠AFE=∠ACE=36°，∴∠EAF=180°-∠AEF-∠AFE=36°=∠AFE，∴AE=EF。解法3：作FH〃DC交BC延长线于点H，易证△ABE∽△EHF。∴=====1,，∴AB=EH，BE=FH，∴△ABE≌△EHF。∴AE=EF。（８）：如下图，点E在BC延长线上，∠AEF=108°，证明AE=EF。解法1略解法2：易知∠AEF=∠ACF，∴A、E、C、F四点共圆，∴∠FAE=∠