二重极限与累次极限及其应用.docx

二重极限与累次极限及其应用摘要：极限是研究函数的重要工具之一二重极限是定义二元以上函数极限的基础这里主要介绍了二重极限和累次极限的概念。举例说明了二重极限与累次极限在存在性上相互独立的关系最后给出了二重极限与累次极限的某些应用。关键词：极限;二重极限;累次极限1.二重极限与累次极限的概念二元函数的极限有两种概念它们分别是二重极限与累次极限其定义分别如下：定义1：设函数z=f（xy）在点P0（x0y0）某邻域（P0可除外）有定义若存在常数A对∨ε>0总δ>0只要点P（xy）与P0（x0y0）的距离ρ=√（x-x0）2-（y-y0）20取δ=ε只要ρ=√x2+y2两种不同次序的累次极限limlim―=0limlim―=0存在且相等。（2）二重极限存在两种不同次序的累次极限都不存在。例如xsin―+ysin―x≠0y≠0f（xy）=0x=0y=0二重极限lim（xsin―+ysin―）=0存在。而累次极限limlim（xsin―+ysin―）=0和limlim（xsin―+ysin―）=0都不存在。（3）二重极限存在一种次序的累次极限存在而另一种次序的累次极限不存在。例如xsin―x∈Ry≠0f（xy）=0x∈Ry=0二重极限limxsin―=0存在。累次极限limlimxsin―=0存在而相反次序的累次极限limlimxsin―=0不存在。（4）二重极限不存在两种不同次序的累次极限都存在且相等。例如f（xy）=―累次极限limlim―=0和limlim―=0存在且相等。而二重极限lim―=0不存在。（5）二重极限不存在两种不同次序的累次极限都存在但不相等。例如f（xy）=―累次极限limlim―=-1和limlim―=1存在且不相等。二重极限lim―=0不存在。此外还有二重极限不存在一种次序的累次极限存在而另一种次序的累次极限不存在以及二重极限不存在两种不同次序的累次极限都不存在两种类型关系在此不一一例举。由上面讨论知二重极限与累次极限在存在性上没有必然的联系但是在一定的条件下又可以建立下面的两个结论：定理1：若函数z=f（xy）的二重极限limf（xy）存在且累次极限limlimf（xy）=A（或limlimf（xy）=A）存在则有limf（xy）=limlimf（xy）=A（或limf（xy）=limlimf（xy）=A）。定理2：若函数z=f（xy）的两种不同次序的累次极限limlimf（xy）和limlimf（xy）都存在但不相等则二重极限limf（xy）一定不存在。3.二重极限与累次极限的应用（1）一般计算比较复杂的二元函数的极限是比较困难的而求累次极限实际上是进行两次一元函数的极限计算是比较容易的由定理1知在二重极限存在的条件下可用求累次极限来求其二重极限。（2）用累次极限可判别二重极限不存在。由定理2知若两种不同次序的累次极限都存在但不相等时则二重极限一定不存在。例如f（xy）=―累次极限limlimf（xy）=lim（y-1）=-1和limlimf（xy）=lim（x+1）=1都存在但不相等而二重极限limf（xy）不存在。（3）用累次极限可表示某些非初等函数。例如在高等数学中常见的狄利克雷函数1x为有理数0x为无理数可以用累次极限y=D（x）=limlim（cosmπx）2n（mn为整数）来表示。参考文献：[1]华东师范大学数学系编.数学分析（第二版）（下）[M].北京：高等教育出版社1991.[2]王旭琴.二重极限与累次极限的关系[J].南昌高专学报2010（02）：157―158.（作者单位：广州城建职业学院人文学院）