随机过程报告——马尔可夫链.doc

马尔可夫链马尔可夫链是一种特殊的随机过程最初由A.A.Markov所研究。它的直观背景如下:设有一随机运动的系统E(例如运动着的质点等)它可能处的状态记为总共有可数个或者有穷个。这系统只可能在时刻t=12…n…上改变它的状态。随着的运动进程定义一列随机变量Xnn=012⋯其中Xn=k如在t=n时位于Ek。定义1.1设有随机过程若对任意的整数和任意的条件概率满足则称为马尔可夫链简称为马氏链。实际中常常碰到具有下列性质的运动系统。如果己知它在t=n时的状态则关于它在n时以前所处的状态的补充知识对预言在n时以后所处的状态不起任何作用。或者说在己知的“现在”的条件下“将来”与“过去”是无关的。这种性质就是直观意义上的“马尔可夫性”或者称为“无后效性”。假设马尔可夫过程的参数集T是离散时间集合即T={012…}其相应Xn可能取值的全体组成的状态空间是离散状态空间I={12..}。定义1.2条件概率称为马尔可夫链在时刻n的一步转移矩阵其中ijI简称为转移概率。一般地转移概率不仅与状态ij有关而且与时刻n有关。当不依赖于时刻n时表示马尔可夫链具有平稳转移概率。若对任意的ijI马尔可夫链XnnT}的转移概率与n无关则称马尔可夫链是齐次的。定义1.3设p表示一步转移概率p所组成的矩阵且状态空间1={12…n}则称为马尔可夫链的一步转移概率矩阵。它具有如下性质：（1）定理1.1设为马尔可夫链则对任意的1有。这表明马尔可夫链的有限维分布完全由它的初始概率和一部转移概率所决定。因此只要知道初始概率和一部转移概率就可以知道马尔可夫链的统计特性。定义1.4假设{Xnn0}是齐次马尔可夫链其状态空间为I转移概率为Pij称概率分布{}为马尔可夫链的平稳分布若它满足对于不可约马尔可夫链若它的状态是非周期正常返的则它是遍历的；对于不可约马尔可夫链若它的状态是有限且非周期的则它是遍历的。值得注意的是对于一个马尔可夫链并不是一定存在。例如设马尔可夫链的一部转移矩阵为：易知(单位矩阵)所以不存在。在随机过程理论中马尔可夫链是一类占有重要地位具有普遍意义的随机过程。它广泛应用于现代社会的各个领域尤其在预测领域有着广泛的应用。马尔可夫链的预测方法分为很多种。根据指标值序列分组有3种。1）数据序列约定俗成的分组方法：根据人们长久的经验进行分组:由于人们在现实生活中积累了生活经验人们对认识的事物有了感性的了解就可以对现象进行分组。2）样本均值一均方差分组法：对于数据序列可看作是一个时间序列的前n个观测值算出样本均值和样本均方差s根据具体情况以样本均值为中心s为标准进行分组。3）有序聚类分组法：有序聚类是对有序样品进行分类的一种方法更加充分地考虑序列的数据结构使划分的区间更加合理。有序聚类实现的经典算法是Fisher算法其基本原理为:设时间序列的某一归类是定义其均值向量为将公式定义为{}的直径其含义表示该变量段内部各变量之间的差异情况。其值越小表示该段内变量之间差异越小或说相互间越接近;反之表示该段内变量之间差异越大或说相互间越分散。三种马氏链预测方法：基于绝对分布的马尔可夫链预测步骤1对历史数据进行分组;步骤2确定观测值的状态写出频数矩阵和一步转移矩阵其中其中n为样本容量当时可用频数估计概率从而得到一步转移概率矩阵。步骤3“马氏性”检验步骤4已知时刻l时系统取各个状态的概率可视为马尔可夫链的初始分布比如x1取状态2m=5则始分布=（01000）于是l+1时的绝对分布可认为时刻1+1时系统所取的状态j满足从而预测1+t时刻的状态。步骤5还可以用马氏链的平稳性遍历性对系统分析。叠加马氏链预测步骤1对历史数据进行分组;步骤2计算各阶的一步转移矩阵其中其他类推。步骤3“马氏性”检验步骤4如果要预测时刻1+1的状态可分别利用11-1⋯1-k+1作为初始态l+1所处的状态j满足。列表分析图1叠加马氏链预测分析表步骤5重复步骤1-4递推预测;步骤6进行平稳性遍历性及其他分析。3）加权马氏链预测步骤1对历史数据进行分组;步骤2计算各阶的一步转移矩阵其中其他类推。步骤3“马氏性”检验;步骤4计算各阶相关系数：计算规范的相关系数:步骤5预测n+1时刻的状态步骤6重复1-5预测n+2时刻的状态其余类推步骤7讨论其他性质。马尔可夫预测方法是马尔可夫链在预测领域的一种应用方法。最初这种方法在水文气象地震等方面有广泛的应用之后经济学家将其应用于研究市场占有率预测经营利润等方面。在马尔可夫