随机过程与马尔可夫链习题答案.docx

信息论与编码课程习题1——预备知识概率论与马尔可夫链

某同学下周一上午是否上课，取决于当天情绪及天气情况，且当天是否下雨与心情好坏没有关系。若下雨且心情好，则50%的可能会上课；若不下雨且心情好，则有10%的可能性不上课；若不下雨且心情不好则有40%的可能性上课；若下雨且心情不好，则有90%的可能不会上课。假设当天下雨的概率为30%，该同学当天心情好的概率为20%，试计算该同学周一上课的可能性是多大？
分析：
天气情况用随机变量X表示，“0”表示下雨，“1”表示不下雨；心情好坏用Y表示，“0”表示心情好用“0”表示，心情不好用“1”表示；是否上课用随机变量Z表示，“0”表示上课，“1”表示不上课。由题意可知
已知，
，
，
，
，
，
即题目实际上给出了八个个条件概率和四个概率

由于X，Y相互独立，则有

=
注意：全概率公式的应用

XY5610.20.320.10.42、已知随机变量X和Y的联合分布律如又表所示，
且，，求：
的分布律与数学期望
的分布律与数学期望
大于10的概率
由上面的例子，你是否能得到离散随机变量函数的数学期望的一般表达式？包括一元和多元随机变量函数。
分析：
1）

2）

说明：主要考虑联合分布律与随机变量函数分布律的关系
Z167910P0.20.30.10.43）

4）

andsoon.

已知随机变量的概率密度函数为，其中，为的函数，求：
随机变量X小于或等于5的概率
随机变量Y的概率密度函数
随机变量Y大于10的概率
随机变量Y的数学期望
分析

假设用分别表示随机变量X的分布函数、随机变量Y的概率密度函数和分布函数，则有：

有

4）

已知随机变量和的联合概率密度函数为
，。
求随机变量Z的数学期望
求随机变量Z的概率密度函数
结合习题3，总结连续随机变量的函数的数学期望的一般表达式，包括包括一元和多元随机变量函数。
分析：
1）

2）
=
3）

andsoon.

P352T2给定随机过程,是任意实数，定义另一随机过程

试将的均值函数和自相关函数用随机过程的一维和二位分布函数表示出来
分析：由题知，是随机过程，的取值由决定，所以也是随机过程。
由题中不知道随机过程是连续还是离散，但一定是离散随机过程，它的样本空间是。概率分布可以表示成如下形式
01因为等于1的概率等于小于等于的概率（），
等于0的概率等于大于的概率（）。
因此有。
同理，由题知

所以得到
10P{其他}

P352T3设随机过程，，其中是在区间服从均匀分布的随机变量。试求的均值函数和自相关函数。
分析：是随机变量，是普通变量，所以是随机过程。由题知的概率密度函数为

因为随机过程可以看作是随机变量的函数，因此有

注意才是随机变量，不是我们习惯的。注意理解其本质意义，否则换个符号表示就会难倒你。
P353T9是互不相关的随机过程。，其中是普通函数。求的均值函数和自相关函数。
分析：1

因为数学期望运算只对随机变量和随机过程起作用，对普通函数、普通变量和常量不起作用。（为什么？）。所以

分析2

因为相互独立，则其在任何时刻对应的随机变量之间也相互独立，即
。则有

所以

二、马尔科夫链
P374T5、设马氏链的状态空间为，初始分布为，转移概率矩阵为

计算
证明
计算
计算
（1）分析：

由于马氏链的遗忘特性。所以

由于只给出了一步转移概率矩阵，则应将马氏链改为齐次马氏链为宜。

(2)分析：

(3)分析：
随机过程在0时刻处于状态1的条件下，2时刻转移到2状态的概率。即二步转移概率矩阵的第1行第2列。

所以
分析

P375T10设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为，。试证明此链具有遍历性，并求其平稳分布
分析:
1）因为

即存在m=2使得m步转移概率中每一项都大于0，因此该马氏链具有遍历性。
设平稳分布为则有

及
计算可得，表达形式不唯一。

奖励加分题：
证明若齐次马氏链具有遍历性，则齐n步转移概率矩阵（n趋近于无穷大）每一列中的元素都相同。
当具有遍历性的齐次马氏链处于平稳状态时，经过一次转移后仍处于平稳状态。