矩阵在常系数递推关系中的应用.doc

矩阵在常系数线性递推关系中的应用指导老师：李勇刚职称：讲师【内容摘要】本文在前人的研究基础上对应用矩阵的相关知识与常系数线性递推关系进行研究.首先归纳出一些矩阵的相关知识.其次应用矩阵来表示常系数线性递推关系.然后再应用矩阵求解常系数线性递推关系介绍矩阵方法如何应用.最后举出简单的递推关系的问题用一般方法和矩阵方法分别对这些问题进行解答并比较这些方法在解决实际问题中的优劣之处提出一些自己的建议.将递推关系组与矩阵相结合用矩阵对角化及特征值理论求解一类递推关系组并给出通解.感觉像流水帐不是太自然可以使用一些将这些点串起来【关键词】矩阵的加法只是加法？应该是运算；可对角化；应用矩阵；递推关系；1引言1.1研究现状递推关系不仅对组合论有重要意义而且几乎对一切数学分支都有重要意义.求解常系数线性递推关系的最有效的常见的方法是母函数法和特征根法而本文将用矩阵进行求解其基本思想为：对于某些递推关系定义的数列根据矩阵特征值理论将数列的一般项表为含有对角阵的矩阵乘法形式在此基础上推出数列的通项公式.杨振生在《组合数学及其算法》[1]中提到常系数线性齐次递推关系以及常系数线性非齐次递推关系的求解通过对不同形式的递推关系问题采用不同的方法进行求解归纳以及简单的应用.岳嵘在《利用矩阵对角化求数列通项》[2]中提出利用矩阵求解具有特殊性质的数列的通项公式；尹飞杨方赵天玉在《用矩阵对角化求解一类递推关系组》[3]中把递推关系与矩阵相结合用矩阵对角化来求解一类递推关系组；郑华盛徐伟在《矩阵对角化的应用》[4]中利用矩阵对角化求解一类具有递推关系式的数列的通项与极限及一类三对角线行列式这是矩阵在求解递推关系问题中知识的延拓与提升.通过文献整理可知目前矩阵在常系数线性递推关系中的应用只是简单的利用矩阵对角化解决常系数线性递推关系问题.对矩阵方法在常系数线性递推关系中的应用没有具体说明该怎么用为什么要这么用或是为什么要用矩阵方法来解决只是草草地给出定义以及引理并没有深入去研究应用矩阵解决常系数线性递推关系问题可以带来怎么样的方便只是简单地说明了应用矩阵解递推关系问题的方便之处在于将常系数线性递推关系问题简单化、统一化降低了思维难度.1.2研究意义矩阵在求解一类具有递推关系式中占有非常重要的作用通过矩阵的对角化将数列的一般项表示为含有对角阵的矩阵乘法形式运用矩阵相关知识并且结合数学思想与方法并与高等数学中的基础知识融为一体考查学生的数学思维能力及创新能力提高学生的学习兴趣.矩阵在常系数线性递推关系中的相关研究是符合当代大学生的一项研究.研究的目的在于通过一系列研究得出矩阵对角化解法在某类递推关系中是具体优势的让学生能够在解题中明白知识是环环相扣的.1.3研究思路及研究方法应用矩阵表示常系数线性递推关系；用满足矩阵可对角化的条件证明常系数线性递推关系.由矩阵知识用到某些复杂的递推关系问题上综合比较常规的解题方法总结出各自的优缺点以及适用情况.在掌握了矩阵方法解决常系数线性递推关系问题的一般步骤后对矩阵方法应用于常系数线性递推关系进行进一步研究分析得出用矩阵方法解题所适合的情况及其优劣之处.基于对文献资料的分析上归纳出应用矩阵在求解常系数线性递推关系的技巧与方法.最后对文章进行总结.本研究首先采用文献研究法根据所研究的论文题目通过查阅相关文献从而能够正确的了解掌握所要研究的问题.在研究矩阵在常系数线性递推关系中的研究现状上运用文献研究法能形成关于研究对象的印象.然后采用比较研究法通过纵横比较对矩阵方法与常规方法进行利弊分析最后总结矩阵方法是否实用.2矩阵相关知识2.1矩阵的加法和数与矩阵的乘法[5]两个行列矩阵对应位置元素相加得到的行列矩阵称为矩阵与矩阵的和记为即.例2.1.1设矩阵求.解：注1只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵）加减法运算才有意义即加减运算是可行的.定义2.2以数乘矩阵的每一个元素所得到的矩阵称为数与矩阵的积记作.如果那么.例2.1.2设求.解：2.2矩阵的乘法定义2.3设矩阵的数列与矩阵的行数相同则由元素构成的行列矩阵称为矩阵与矩阵的积记为或.这个定义说明如果矩阵的列数等于矩阵的行数则与的乘积中第行第列的元素等于矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素乘积的和并且矩阵的行数等于矩阵的行数矩阵的列数等于矩阵的列数.计算.解：是那么.注2(1)只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时两个矩阵才可以相乘；(2)乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数列数等于右矩阵的列数；(3)乘积矩阵的第行第列的元素等于左矩阵的第行与右矩阵的第列的对应元素的乘积之和.2.3矩阵对角化[6]设为阶矩阵如果有阶可逆矩阵存在