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利用构造函数法求解不等式问题[摘要]构造函数法是一种重要的数学方法.不等式问题是高考中的热点和难点.恰当地构造函数是解决不等式问题的有效途径.[关键词]构造函数法不等式[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2016）170056构造函数法是解决不等式问题的有效方法如何构造函数显得尤为重要.下面举例谈谈构造函数法在解不等式问题中的应用.一、比较函数值大小这类题型主要采用从结论入手来构造函数的方法即分析结论的结构特点建立可导的函数f（x）再利用f（x）的导函数判断函数的单调性从而比较出函数值的大小.【例1】若定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x）且满足f′（x）>f（x）则f（2011）与f（2009）e2的大小关系为（）.A.f（2011）>f（2009）e2B.f（2011）=f（2009）e2C.f（2011）D.不能确定分析：构造函数令F（x）=e-xf（x）则F′（x）=e-xf′（x）-e-xf（x）=e-x（f′（x）-f（x））>0F（x）单调递增F（2011）>F（2009）即e-2011f（2011）>e-2009f（2009）f（2011）>f（2009）e2故答案为A.二、求函数不等式的解集对于形如f（x）>g（x）（或f（x）化为f（x）-g（x）>0（或【例2】定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）>1-f（x）f（0）=6f′（x）是f（x）的导函数求不等式exf（x）>ex+5（其中e为自然对数的底数）的解集.分析：由题意可知不等式为exf（x）-ex-5>0构造函数设g（x）=exf（x）-ex-5g′（x）=exf（x）+exf′（x）-ex=ex[f（x）+f′（x）-1]>0函数g（x）在定义域上单调递增.又g（0）=0g（x）>0的解集为{x|x>0}.三、求参数的取值范围求函数不等式中参数的取值范围是一类重点、热点问题.虽然函数不等式问题有多种解法途径但通过分离参数可把问题转化为a>f（x）（或a【例3】已知f（x）=lnx-x+a+1若存在x∈（0+∞）使得f（x）≥0成立求a的取值范围.分析：由题意知当x>0时f（x）=lnx-x+a+1≥0a≥-lnx+x-1.构造函数令g（x）=-lnx+x-1则g′（x）=-1x+1=x-1x.令g′（x）=0解得：x=1.当0当x≥1时g′（x）>0g（x）在[1+∞）上为增函数g（x）min=g（1）=0a≥g（1）=0.a的取值范围为[0+∞）.四、证明不等式对于不等式的证明大部分学生都望而生畏找不到解决问题的突破口.很多不等式都有函数的背景如果能挖掘已知函数与不等式的关系根据所要证明的不等式恰当地构造函数利用函数的单调性、最值、有界性等可以达到证明不等式的目的.【例4】当x≥1时x-lnx-1≥0求证：12x2+ax-a≥xlnx+12.证明：原不等式可化为12x2+ax-xlnx-a-12≥0（x≥1a≥0）.构造函数令G（x）=12x2+ax-xlnx-a-12则G′（x）=x+a-lnx-1且G（1）=0.由题意可知当x≥1时x-lnx-1≥0则G′（x）=x+a-lnx-1≥x-lnx-1≥0G（x）在[1+∞）上单调递增G（x）≥G（1）=012x2+ax-xlnx-a-12≥0故原不等式成立.可以看出对于不等式的问题我们可以通过构造恰当的函数使问题迎刃而解.其关键是如何构造函数；构造什么样的函数.这就要求我们结合函数的性质和特点发展思维反复总结、提炼构造规律.比如对于左右两边结构相同（或者可化为左右两边结构相同）的不等式构造函数f（x）使原不等式成为形如f（a）>f（b）的形式；对于形如f（x）>g（x）的不等式构造函数F（x）=f（x）-g（x）；等等.