利用数形结合求解函数问题.doc

第页共NUMPAGES5页
利用"数形结合"求解函数问题

摘要:"数形结合"思想方法是研究数学问题的重要方法，本文对中学数学中的函数问题，谈谈如何运用"数形结合"的思想解题。

关键词：数形结合、图形、函数

著名的数学家华罗庚先生说过："数形结合千般好，数形分离万事休。"有些繁难的代数题，若我们借助于图形的性质，可以使许多抽象的概念及复杂的数量关系直观化、简单化，从而探索出巧妙的解法。下面就函数的几个方面进行研究。

1、 利用数形结合求函数的定义域
面对求函数的定义域问题，有些人常常是顾此失彼，所以在看到题目后，首先的应该把所有使函数有意义的条件列出，待求出所有满足条件的解后用相应的图形表示出来，再逐一判断，这样才能尽量避免失误，得出正确的答案。
例1：已知函数f(x)的定义域是[a,b]其中a<0<b且|a|>b,求函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域。
分析：若g(x)的定义域为M,f(x)f(-x)的定义域分别为A、B，则有M=A∩B，利用数轴分析得知，阴影部分即为所求。如图
A∩B

解：∵函数f(x)的定义域为[a,b]
∴a≤x≤b
若使f(x)e有意义，必须有a≤－x≤b，即有－b≤x≤－a
∵a＜0＜b∴－b＜0＜－a
又∵|a|＞b＞0∴.a＜－b
∴函数g(x)的定义域{x|a≤x≤b}∩{x|－b≤x≤－a}={x|－b≤x≤b}
小结：这样的题目要是改为选择题，图形一画那就简单明了，不用解题，要是象上面的求解，画出图形有助于解题。

2、利用数形结合求函数的值域
对于一些给了的定义域求值域的函数，若只采用代数的方法思考问题，往往会太过于抽象或无从下手。但如果根据函数的定义，引入图象，使所求的问题具体化，可从图中一目了然，则达到事半功倍的效果。
例2．求函数y=|x+3|－|x+1|的值域。
分析：就自变量x的范围讨论去掉绝对值，将函数表示为分段函数，画出分段函数的图象，由图象即可得y的范围

函数的图象如图，由图象即可得y∈［－2，2］。
小结：数形结合能将抽象的问题直观化、形象化，能使问题灵活直观地获解，在数学学习中要注意把握善于运用这种数学思想。

3、利用数形结合求函数的单调区间
例3、设函数f(x)=x2－2|x|－1(－3≤x≤3).指出函数f(x)的单调区间并说明在各个区间上f(x)是增函数还是减函数。
解：当x≥0时，f(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2
当x＜0时，f(x)=x2+2x－1=(x+1)2－2
即

根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如图

函数f(x)单调区间为［－3，－1），［－1，0），［0，1），［1，3］。
由图形可看出函数在区间［－3，－1），［0，1）上为减函数，在区间［－1，0），［1，3］上为增函数。
小结：用数形结合的方法，先画出函数的图象，由图象可直观得解。

4、用数形结合解方程、不等式等有关问题
例4、已知关于x的方程2kx2－2x－3k－2=0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围。
分析：若直接利用求根公式解答此题，则要解复杂的无理不等式组。如果从函数观点出发，令f(x)=2kx2－2x－3k－2则由根的分布，函数f(x)的图象只能如图所示。
对应的条件是或

解：由以上分析可知，令f(x)=2kx2－2x－3k－2,为使方程f(x)=0的两个根一个小于1，另一个大于1，只需使
或
解得k＞0或k＜－4
小结：本题是一个利用函数图象解决方程根的分布问题的的典型例题，一般地，关于根的分布问题，均可引入函数，由函数图象的特征构造解法，使问题得以巧妙解决。

5、用数形结合求函数的最值
求函数的最值的类型题有很多种，例如：给出函数，根据其定义域求最值。这种题型与求函数的值域是相类似的，另一种类型的求最值的题型则是给出x,y所满足的方程，再求另一个关于x,y的函数式的最值，我们常用数形结合来解这类问题，正确地作出图像，必要时还要配合一定的计算。
例5、求函数的最大值和最小值
分析：对于这种特殊的函数，应注意观察，利用其特殊的性质，把函数看作是定点（－3，－2）与单位圆上的点P（cosx,sinx）连线的斜率。

解：这可以看作是定点A（－3，－2）与单位圆上的点P（cosx,sinx）连线的斜率。因此，y的最值就是当直线AP与单位圆相切时的斜率。
∵单位圆x2+y2=1中斜率为k的切线方程为

由于该切线过点A（－3，－2），故

∴
∴

以上是利用“数形结合”的方法来求最值的，让我们对比一下用纯代数的方法看看它们有什么区别。
解：原式可化为：
3y+ycosx=2+sinx

∵|cos(x+v)|≤1
∴
∴
∴8y2－12y+3≤0

∴

例6、求函数的最小值

解：
∴y表示x轴上点P