利用空间向量求角和距离.doc

第二课时利用空间向量求角和距离【基础巩固】1.已知直线l1的方向向量s1=(101)与直线l2的方向向量s2=(-12-2)则l1与l2夹角的余弦值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:因为s1=(101)s2=(-12-2)所以cos<s1s2>===-.又两直线夹角的取值范围为(0)所以l1和l2夹角的余弦值为.2.已知点A(121)B(-134)D(111)若=2则空间PD两点间的距离为(D)(A)(B)(C)(D)解析:设P(xyz)因为=2所以(x-1y-2z-1)=2(-1-x3-y4-z)所以所以所以P(-3)=(--2)所以||=.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中M是AB的中点则sin<>的值等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:如图以D为原点建立空间直角坐标系设正方体棱长为1则D(000)B1(111)C(010)M(10)所以=(111)=(1-0).所以cos<>===.所以sin<>==.故选B.4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=2BC=2DD1=3则AC与BD1所成角的余弦值为(A)(A)0(B)(C)-(D)解析:建立如图坐标系则D1(003)B(220)A(200)C(020)所以=(-2-23)=(-220).所以cos<>==0.所以AC与BD1所成角的余弦值为0.5.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AA1=2AB则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:建立如图所示的空间直角坐标系设AA1=2AB=2则B(110)C(010)D(000)C1(012)故=(110)=(012)=(010).设平面BDC1的法向量为n=(xyz)则即令z=1则y=-2x=2所以平面BDC1的一个法向量为n=(2-21).设直线CD与平面BDC1所成的角为θ则sinθ=|cos<n>|==故选A.6.已知点M(a0a)平面π过原点O且垂直于向量n=(-a)则点M到平面π的距离d为.解析:=(a0a)则M到平面π的距离d==a.答案:a7.如图正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1O是平面A1B1C1D1的中心则BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为.解析:建立空间直角坐标系如图则B(110)O(1)=(101)是平面ABC1D1的一个法向量.又=(-1)所以BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为==.答案:8.(2019·福州高二期中)如图已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为4E为面A1D1DA的中心CF=3FC1AH=3HD.(1)求异面直线EB1与HF之间的距离;(2)求二面角H-B1E-A1的平面角的余弦值.解:以D1为原点分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立直角坐标系D1xyz则E(202)B1(440)H(104)F(041).(1)=(24-2)=(-14-3)=(-102)设平面EB1FH的法向量为n=(xyz)则即取x=1则z=-3y=-2则n=(1-2-3)异面直线EB1与HF之间的距离为==.(2)=(24-2)=(20-2)=(-102)设平面HB1E的法向量为m1=(x′y′z′)则即取x′=2则y′=-z′=1.所以m1=(2-1).设平面A1B1E的法向量为m2=(xyz)则即取x=1y=0z=1则m2=(101)所以cos<m1m2>==.因为二面角H-B1E-A1为钝二面角所以二面角H-B1E-A1的平面角的余弦值为-.【能力提升】9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中E为BB1的中点则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(B)(A)(B)(C)(D)解析:如图所示建立空间直角坐标系设正方体棱长为1则D(000)A1(101)E(11)所以=(101)=(11).设平面A1ED的法向量为n=(xyz)则即令x=1得y=-z=-1所以n=(1--1).又平面ABCD的一个法向量为=(001)所以cos<n>==-.所以平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.故选B.10.已知矩形ABCD与ABEF全等D-AB-F为直二面角M为AB的中点FM与BD所成角为θ且cosθ=则AB与BC的边长之比为(C)(A)1∶1(B)∶1(C)∶2(D)1∶2解析:设AB=aBC=b建立如图所示的空间直角坐标系Axyz则相关各点坐标为F(b00)M(00)B(0a0)D(00b)=(-b0)=(0-ab)所以||=||=·=-|cos<>|==整理得4×+5×-26=0所以==.故选C.11.(2019·烟台高二检测)棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中EF分别是BCCD的中点则点D到平面EFD1B1的距离为.