利用空间向量求角和距离.docx

第二课时利用空间向量求角和距离
【基础巩固】
1.已知直线l1的方向向量s1=(1,0,1)与直线l2的方向向量s2=(-1,2,-2),则l1与l2夹角的余弦值为(C)
(A) (B) (C) (D)
解析:因为s1=(1,0,1),s2=(-1,2,-2),所以cos<s1,s2>===-.又两直线夹角的取值范围为(0,),所以l1和l2夹角的余弦值为.
2.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则空间P,D两点间的距离为(D)
(A) (B) (C) (D)
解析:设P(x,y,z),因为=2,
所以(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),
所以所以
所以P(-,,3),=(,-,-2)
所以||=.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin<,>的值等于(B)
(A) (B) (C) (D)
解析:如图,以D为原点建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则D(0,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),M(1,,0),
所以=(1,1,1),=(1,-,0).
所以cos<,>===.
所以sin<,>==.故选B.
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=3,则AC与BD1所成角的余弦值为(A)
(A)0 (B) (C)- (D)
解析:建立如图坐标系,则D1(0,0,3),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),
所以=(-2,-2,3),=(-2,2,0).
所以cos<,>==0.
所以AC与BD1所成角的余弦值为0.
5.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(A)
(A) (B) (C) (D)
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设AA1=2AB=2,则B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,2),
故=(1,1,0),=(0,1,2),=(0,1,0).设平面BDC1的法向量
为n=(x,y,z),则
即令z=1,则y=-2,x=2,所以平面BDC1的一个法向量为n=(2,-2,1).设直线CD与平面BDC1所成的角为θ,
则sinθ=|cos<n,>|==,故选A.
6.已知点M(a,0,a),平面π过原点O,且垂直于向量n=(-,,a),则点M到平面π的距离d为.
解析:=(a,0,a),则M到平面π的距离d==a.
答案:a
7.如图正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是平面A1B1C1D1的中心,则BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为.
解析:建立空间直角坐标系,如图,则B(1,1,0),O(,,1),
=(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量.又=(,,-1),
所以BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为==.
答案:
8.(2019·福州高二期中)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,棱长为4,E为面A1D1DA的中心,CF=3FC1,AH=3HD.
(1)求异面直线EB1与HF之间的距离;
(2)求二面角H-B1E-A1的平面角的余弦值.
解:以D1为原点,,,分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立直角坐标系D1xyz,则E(2,0,2),B1(4,4,0),H(1,0,4),F(0,4,1).
(1)=(2,4,-2),=(-1,4,-3),=(-1,0,2),
设平面EB1FH的法向量为n=(x,y,z),
则即
取x=1,则z=-3,y=-2,则n=(1,-2,-3),
异面直线EB1与HF之间的距离为==.
(2)=(2,4,-2),=(2,0,-2),=(-1,0,2),
设平面HB1E的法向量为m1=(x′,y′,z′),
则即
取x′=2,则y′=-,z′=1.所以m1=(2,-,1).
设平面A1B1E的法向量为m2=(x,y,z),则即
取x=1,y=0,z=1,则m2=(1,0,1),
所以cos<m1,m2>==.
因为二面角H-B1E-A1为钝二面角,
所以二面角H-B1E-A1的平面角的余弦值为-.
【能力提升】
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(B)
(A) (B) (C) (D)
解析:如图所示,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,
则D(0,0,0),A1(1,0,1),E(1,1,),
所以=(1,0,1),=(1,1,).
设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),
则即
令x=1,得y=-,z=-1,所以n=(1,-,-1).
又平面ABCD的一个法向量为=(0,0,1),
所以cos<n,>==-.
所以平面A1ED与平面ABCD所成的