函数最值得求解的方法.docx

函数最值得求解的方法函数最值的讨论是高中数学的难点类型多且比较灵活因而在高考当中较容易失分所以把握好类型与解决方法是处理好这类问题的关键。一求函数最值的常用方法有:1.配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和然后根据变量的取值范围确定函数的最值.形如的函数值域均可用此法要特别注意自变量的范围.2分离常数法:将函数解析式化成含有一个常数和含有的表达式利用自变量取值范围确定表达式取值范围。形如的函数的值域均可以使用此法此外这种函数的值域也可以利用反函数法利用反函数的定义域进行值域的求解。3.判别式法:把函数转化成关于的二次方程通过方程有实根判别式从而求得原函数的值域。形如的函数的值域常用此法解决。注意事项:①函数定义域为R;②分子、分母没有公因式。4.不等式法:利用基本不等式取等号确定函数的最值常用不等式有:①当且仅当a=b时“=”号成立;②当且仅当a=b时“=”号成立;③当且仅当a=b=c时“=”号成立;④当且仅当a=b=c时“=”号成立.注意事项:①基本不等式求最值时一定要注意应用的条件是“一正二定三等”.②熟悉一个重要的不等式链:5.换元法:运用代数或者三角代换将所给函数化成值域容易确定的另一函数从而求得原函数的值域。形如的函数等常用此法解决.注意事项:换元法使用时一定要注意新变元的取值范围.6.数形结合法:当一个函数图象较容易作出时通过图像可以求出其值域和最值;或利用函数所表示的几何意义借助几何方法求出函数的值域。例如距离、斜率等.7.函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性以求出函数的值域.例如形如的函数的函数等.注意事项:1函数单调性问题必须先在讨论定义域条件下进行。2函数的单调性的判断方法有定义法导数判断法等方法。二函数最值求解例析例1求下列函数的值域:解:(1)方法一(分离常数法)由知所以函数值域为方法二(反函数法)由得所以即所以函数值域为(2)方法一(换元法)设得方法二(函数单调性法)注:函数的单调性也可以用导数法进行判断().(3)方法一(判别式法)。所以函数值域为。方法二(不等式法)。(4)方法一(基本不等式法)由得即或所以函数的值域为方法二(判别式法)由得。[:]方程有实根解得或所以函数的值域为方法三(函数单调性法)由得所以当和时所以函数在和上是减少的当和时所以函数在和上是增加的所以所以函数的值域为注:函数图象及性质(1)函数图象:(2)函数性质:①值域:;②单调递增区间:;单调递减区间:.例2对记函数的最小值是()ACD解法一(图像法):函数的图像如图所示由图像可得其最小值为。[来源:Z__]解法二(零点分区间讨论法):当x﹣x﹣1;当﹣1≤xx﹣2;故故函数最小值为.例3设函数求在区间上的最大值和最小值。解:(函数单调性法)由于所以由得:;由得:所以函数在区间上是减少的;在区间上是增加的。又由于所以:三训练1下列函数中值域是(0+∞)的是()A、B、C、y=x2+x+1D、2函数的值域是()A、(﹣∞﹣1)B、(﹣∞0)∪(0+∞)C、(﹣1+∞)D、(﹣∞﹣1)∪(0+∞)3函数的值域是4函数的值域为5函数的最大值是最小值是