2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第3讲导数与函数的极值最值高效演练分层突破文新人教A版202003030477.doc

6第3讲导数与函数的极值、最值[基础题组练]1．函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－42]上的最大值和最小值分别是()A．25－2B．5014C．50－2D．50－14解析：选C.因为f(x)＝2x3＋9x2－2所以f′(x)＝6x2＋18x当x∈[－4－3)或x∈(02]时f′(x)＞0f(x)为增函数当x∈(－30)时f′(x)＜0f(x)为减函数由f(－4)＝14f(－3)＝25f(0)＝－2f(2)＝50故函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－42]上的最大值和最小值分别是50－2.2．已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示给出下列判断：①函数y＝f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3－\f(12)))内单调递增；②当x＝－2时函数y＝f(x)取得极小值；③函数y＝f(x)在区间(－22)内单调递增；④当x＝3时函数y＝f(x)有极小值．则上述判断正确的是()A．①②B．②③C．①②④D．③④解析：选B.对于①函数y＝f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3－\f(12)))内有增有减故①不正确；对于②当x＝－2时函数y＝f(x)取得极小值故②正确；对于③当x∈(－22)时恒有f′(x)>0则函数y＝f(x)在区间(－22)上单调递增故③正确；对于④当x＝3时f′(x)≠0故④不正确．3．已知函数f(x)＝2f′(1)lnx－x则f(x)的极大值为()A．2B．2ln2－2C．eD．2－e解析：选B.函数f(x)定义域(0＋∞)f′(x)＝eq\f(2f′（1）x)－1所以f′(1)＝1f(x)＝2lnx－x令f′(x)＝eq\f(2x)－1＝0解得x＝2.当0<x<2时f′(x)>0当x>2时f′(x)<0所以当x＝2时函数取得极大值极大值为2ln2－2.4．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱先在四周分别截去一个小正方形然后把四边翻转90°角再焊接成水箱则水箱的最大容积为()A．120000cm3B．128000cm3C．150000cm3D．158000cm3解析：选B.设水箱底长为xcm则高为eq\f(120－x2)cm.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(120－x2)＞0x＞0))得0＜x＜120.设容器的容积为ycm3则有y＝－eq\f(12)x3＋60x2.求导数有y′＝－eq\f(32)x2＋120x.令y′＝0解得x＝80(x＝0舍去)．当x∈(080)时y′＞0；当x∈(80120)时y′＜0.因此x＝80是函数y＝－eq\f(12)x3＋60x2的极大值点也是最大值点此时y＝128000.故选B.5．函数f(x)＝3x2＋lnx－2x的极值点的个数是()A．0B．1C．2D．无数解析：选A.函数定义域为(0＋∞)且f′(x)＝6x＋eq\f(1x)－2＝eq\f(6x2－2x＋1x)由于x>0g(x)＝6x2－2x＋1的Δ＝－20<0所以g(x)>0恒成立故f′(x)>0恒成立即f(x)在定义域上单调递增无极值点．6．函数f(x)＝x3－3x2＋4在x＝处取得极小值．解析：由f′(x)＝3x2－6x＝0得x＝0或x＝2.列表x(－∞0)0(02)2(2＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以在x＝2处取得极小值．答案：27．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1.若函数f(x)的图象在点(1f(1))处的切线斜率为6则实数a＝；若函数在(－13)内既有极大值又有极小值则实数a的取值范围是．解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6结合题意f′(1)＝3a＋9＝6解得a＝－1；若函数在(－13)内既有极大值又有极小值则f′(x)＝0在(－13)内有2个不相等的实数根则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a2－12（a＋6）>0f′（－1）>0f′（3）>0))解得－eq\f(337)<a<－3.答案：－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(337)－3))8．(2020·甘肃兰州一中期末改编)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex的极值点则f′(－2)＝f(x)的极小值为．解析：由函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex可得f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex因为x＝－2是函数f(x)的极值点所以f′(－2)＝(