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构造函数法证明不等式的常见方法公开课

第一篇：构造函数法证明不等式的常见方法公开课选修2-2导数及其应用构造函数法证明不等式一、教学目标：1.知识与技能：利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性和最值来证明不等式.2.过程与方法：引导学生钻研教材，归纳求导的四则运算法则的应用，通过类比，化归思想转换命题，抓住条件与结论的结构形式，合理构造函数.3.情感与态度：通过这部分内容的学习，培养学生的分析能力（归纳与类比）与推理能力（证明），培养学生战胜困难的决心和解题信心。二、教学重难点：解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。难点：将命题的结论进行转化与化归，变成熟悉的题型。三、教法学法：变式训练四、教学过程：（一）引入课题：1.复习导数的运算法则：2.问题探源：（教材B组题第1题）利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证(3)ex1x(x0)(4)lnxx1(x0)3.问题探究：1、直观感知（几何画板演示）；（2）推理论证4高考探究：例1、(2013年北京高考）设L为曲线C：ylnx在点(1，0)处的切线.x(I)求L的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方.（类似还有2011年课标全国卷第21题）选修2-2导数及其应用变式练习1：证明：对任意的正整数n，不等式ln(1)11n111n都成立（类似还有2012年湖北高考题第22题）变式练习2：若函数yf(x)在R上可导且满足不等式xf/(x)f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：．af(a)>bf(b)变式练习3：若定义在(0,)上的两函数yf(x),yg(x)均可导，满足f/(x)g(x)f(x)g/(x)，且对任意x(0,+)，都有f(x)0,(g)x0变式练习4：证明当x0时，不等式(1x)思考题5．（全国卷）已知函数g(x)xlnx设0ab,证明：五.小结：（1）知识点：（2）解题步骤：（3）数学思想方法11x，设0ab，求证f(a)g(b)f(b)g(a)eg(a)g(b)abg()222选修2-2导数及其应用课后巩固训练：1、已知函数f(x)12xlnx.求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数2g(x)23x的图象的下方；32、证明：对任意的正整数n，不等式ln（3.证明当x0时,(1x)课后提高训练：11x1111)23都成立.nnne1x21.已知m、n都是正整数，且1mn,证明：(1m)n(1n)m2.（2013年陕西高考最后一题）已知函数f(x)ex,xR.f(b)f(a)ab设ab,比较f的大小,并说明理由.与ba23第二篇：构造法证明函数不等式构造法证明函数不等式1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点．2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．一、移项法构造函数【例1】已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有11ln(x1)x．x1二、作差法构造函数证明【例2】已知函数f(x)的图象的下方．2312xlnx，求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x32三、换元法构造函数证明【例3】（2007年山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式ln（1111)23都成立．nnn四、从条件特征入手构造函数证明【例4】若函数yf(x)在R上可导，且满足不等式xf'(x)f(x)恒成立，常数a、b满足ab，求证：af(a)bf(b)．五、主元法构造函数1x)x，g(x)xlnx．【例5】已知函数f(x)ln(（1）求函数f(x)的最大值；（2）设0ab，证明：0g(a)g(b)2g（ab)(ba)ln2．2六、构造二阶导函数证明函数的单调性（二次求导）【例6】已知函数f(x)aex12x．2（1）若f(x)在R上为增函数，求a的取值范围；（2）若a1，求证：当x0时，f(x)1x．七、对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）【例7】证明：当x0时，(1x)1xe12．1、（2007年，安徽卷）设a0，f(x)x1ln2x2alnx．求证：当x1时，恒有xln2x2alnx1．2、（2007年，安徽卷）已知定义在正实数集上的函