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数列极限例题

第一篇：数列极限例题三、数列的极限(1)n1}当n时的变化趋势.观察数列{1n问题:当n无限增大时,xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?通过上面演示实验的观察:(1)n1当n无限增大时,xn1无限接近于1.n问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.xn1(1)n1给定11nn1111,由,只要n100时,有xn1,100n10010011,只要n1000时,有xn1,给定1000100011,只要n10000时,有xn1,给定10000100001给定0,只要nN([])时,有xn1成立.定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数N,使得对于nN时的一切xn,不等式xna都成立,那末就称常数a是数列xn的极限,或者称数列xn收敛于a,记为limxna,或xna(n).n如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：N定义:limxna0,N0,使nN时,恒有xna.n其中记号:每一个或任给的;:至少有一个或存在.数列收敛的几何解释:a2axN2x2x1xN1ax3x当nN时,所有的点xn都落在(a,a)内,只有有限个(至多只有N个)落在其外.注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.n(1)n11.例1证明limnnn(1)n111.证注意到xn1nn任给0,若要xn1,只要11,或n,n所以,取N[],则当nN时,就有1n(1)n11.nn(1)n11.即limnn重要说明：（1）为了保证正整数N，常常对任给的0,给出限制01；n(1)n11”的详细推理（2）逻辑“取N[],则当nN时,就有n1见下，以后不再重复说明或解释，对函数极限同样处理逻辑推理.由于N立.严格写法应该是：任给0,不妨取01，若要11N1，所以当nN时一定成立nN11，即得1成nn(1)n11111n是成立n(1)n111.xn1=nnn(1)n11.即limnn小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定0,寻找N,但不必要求最小的N.例3证明limq0,其中q1.nn证任给0(要求εnnn若0q1,xn0q,nlnqln，nnlnln,取N[](1),则当nN时,就有qn0,lnqlnqlimqn0.n0,q1,q1,,n说明：当作公式利用：limqn1,q1,不存在，q1.第二篇：第一讲数列的极限典型例题第一讲数列的极限一、内容提要1.数列极限的定义limxna0,nN,nN，有xna.注1的双重性.一方面,正数具有绝对的任意性,这样才能有xn无限趋近于axna(nN)另一方面,正数又具有相对的固定性,从而使不等式xna.还表明数列xn无限趋近于a的渐近过程的不同程度,进而能估算xn趋近于a的近似程度.注2若limxn存在，则对于每一个正数，总存在一正整数N与之对应，但这种N不是n唯一的，若N满足定义中的要求，则取N1,N2,，作为定义中的新的一个N也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个N则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N．注3xna(n)的几何意义是：对a的预先给定的任意邻域U(a,)，在xn中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入U(a,)．注4limxna00,nN,n0N，有xna0.02.子列的定义在数列xn中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为xn的子列，记为xnk，其中nk表示xn在原数列中的项数，k表示它在子列中的项数．k注1对每一个k，有nkk．注2对任意两个正整数h,k，如果hk，则nhnk．反之，若nhnk，则hk．注3limxna0,nkK,kK，有xna.k注4limxnaxn的任一子列xnnk收敛于a.3.数列有界对数列xn，若M0，使得对nN，有xnM，则称数列xn为有界数列．4.无穷大量对数列xn，如果G0，N,作limxn．nnN，有xnG，则称xn为无穷大量，记1注1只是一个记号，不是确切的数．当xn为无穷大量时，数列xn是发散的，即limxnn不存