2022届高考数学统考一轮复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例教师用书教案理新人教版202103081228.doc

平面向量的数量积与平面向量应用举例[考试要求]1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量的夹角已知两个非零向量a和b作eq\o(OA\s\up7(→))＝aeq\o(OB\s\up7(→))＝b则∠AOB就是向量a与b的夹角向量夹角的范围是：[0π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量ab的夹角为θ则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积3.平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1y1)b＝(x2y2)θ＝〈ab〉．结论几何表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(21)＋y\o\al(21))数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝eq\f(a·b|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2\r(x\o\al(21)＋y\o\al(21))·\r(x\o\al(22)＋y\o\al(22)))a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(21)＋y\o\al(21))·eq\r(x\o\al(22)＋y\o\al(22))提醒：a∥b与a⊥b所满足的坐标关系不同．a∥b⇔x1y2＝x2y1；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.eq\o([常用结论])1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．两个向量ab的夹角为锐角⇔a·b＞0且ab不共线；两个向量ab的夹角为钝角⇔a·b＜0且ab不共线．3．a在b方向上的投影为eq\f(a·b|b|)b在a方向上的投影为eq\f(a·b|a|).一、易错易误辨析(正确的打“√”错误的打“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数向量的数乘运算的运算结果是向量．()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量而不是向量．()(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()(4)(a·b)c＝a(b·c)．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×二、教材习题衍生1．设a＝(1－2)b＝(－34)c＝(32)则(a＋2b)·c＝()A．(－1512)B．0C．－3D．－11C[∵a＋2b＝(－56)∴(a＋2b)·c＝－5×3＋6×2＝－3.]2．平面向量a与b的夹角为45°a＝(11)|b|＝2则|3a＋b|等于()A．13＋6eq\r(2)B．2eq\r(5)C．eq\r(30)D．eq\r(34)D[∵a＝(11)∴|a|＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2).∴a·b＝|a||b|cos45°＝2eq\r(2)×eq\f(\r(2)2)＝2.∴|3a＋b|＝eq\r(9a2＋b2＋6a·b)＝eq\r(18＋4＋12)＝eq\r(34).故选D．]3．已知向量a＝(1m)b＝(3－2)且(a＋b)⊥b则m＝.8[∵a＝(1m)b＝(3－2)∴a＋b＝(4m－2)由(a＋b)⊥b可得(a＋b)·b＝12－2m＋4＝16－2m＝0即m＝8.]4．已知|a|＝2|b|＝6a·b＝－6eq\r(3)则a与b的夹角θ＝a在b方向上的投影为．eq\f(5π6)－eq\r(3)[cosθ＝eq\f(a·b|a|·|b|)＝eq\f(－6\r(3)2×6)＝－eq\f(\r(3)2).又因为0≤θ≤π所以θ＝eq\f(5π6).a在b方向上的投影为eq\f(a·b|b|)＝eq\f(－6\r(3)6)＝－eq\r(3).]考点一平面向量数量