2022届高考数学一轮复习-第5章-平面向量、数系的扩充与复数的引入-第3节-平面向量的数量积与平面.doc

2022届高考数学一轮复习第5章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例教案北师大版2022届高考数学一轮复习第5章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例教案北师大版2022届高考数学一轮复习第5章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例教案北师大版2022届高考数学一轮复习第5章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例教案北师大版年级：姓名：平面向量的数量积与平面向量应用举例[考试要求]1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫作a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫作向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积3．平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．结论几何表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))提醒：a∥b与a⊥b所满足的坐标关系不同．a∥b⇔x1y2＝x2y1；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.eq\a\vs4\al([常用结论])1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．3．a在b方向上的投影为eq\f(a·b,|b|)，b在a方向上的投影为eq\f(a·b,|a|).一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．()(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()(4)(a·b)c＝a(b·c)．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×二、教材习题衍生1．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝()A．(－15,12)B．0C．－3D．－11C[∵a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝－5×3＋6×2＝－3.]2．平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于()A．13＋6eq\r(2)B．2eq\r(5)C．eq\r(30)D．eq\r(34)D[∵a＝(1,1)，∴|a|＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2).∴a·b＝|a||b|cos45°＝2eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝2.∴|3a＋b|＝eq\r(9a2＋b2＋6a·b)＝eq\r(18＋4＋12)＝eq\r(34).故选D.]3．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝________.8[∵a＝(1，m)，b＝(3，－2)，∴a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b可得(a＋b)·b＝12－2m＋4＝16－2m＝0，即m＝8.]4．已知|a|＝2，|b|＝6，a