人教B版选修23第一章利用隔板法巧解排列、组合问题.doc

利用隔板法巧解排列、组合题隔板法是将相同的球放入不同的盒子每盒放入球的个数不限求不同方法种数的一种解题方法。利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题。放球问题。例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子有多少种不同方法？解：取3块相同隔板连同8个相同的小球排成一排共11个位置。由隔板法知在11个位置中任取3个位置排上隔板共有C种排法。==165(种)所以把8个相同的球放入4个不同的盒子有165种不同方法。点评：相同的球放入不同的盒子每个盒子放球数不限适合隔板法。隔板的块数要比盒子数少1。指标分配问题。例2、某校召开学生会议要将10个学生代表名额分配到某年级的6个班中若每班至少1个名额又有多少种不同分法？解：名额与名额是没有差别的而班级与班级是有差别的这样把10相同的名额分配到6个不同的班级中适合隔板法。将10个学生代表名额分配到某年级的6个班中每班至少1个名额可分以下两步完成。第一步：每班先给1个名额仅有1种给法；第二步：将剩余的4个名额分到这6个班里由隔板法知此时有C种不同分法。由分步计数原理知共有C种不同分法。C=C==126（种）。答：某校召开学生会议要将10个学生代表名额分配到某年级的6个班中若每班至少1个名额有126种不同分法.点评：名额与名额是没有差别的而班级与班级是有差别的故适合隔板法。求n项展开式的项数。例3、求展开式中共有多少项？解：用10个相同的小球代表幂指数10用5个标有、、…、的5个不同的盒子表示数、、…、将10个相同的小球放入5个不同的盒子中把标有（i=12…5）每个盒子得到的小球数（i=12…5;）记作的次方。这样将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法就对应着展开式中的每一项。由隔板法知这样的放法共有种故的展开式中共有项。==1001（种）。所以展开式中共有1001项。点评：准确理解隔板法的使用条件是使用隔板法求展开式中的项数的理论依据。四、求n元一次方程组的非负整数解。例4、求方程++…+=7的正整数解的个数。解：用7个相同的小球代表数7用5个标有、、…、的5个不同的盒子表示未知数、、…、要得到方程++…+=7的正整数解的个数可分以下两步完成。第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中仅有1种放法；第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中由隔板法知此时有种放法。由分步计数原理知共有种不同放法。我们把标有（i=12…5）的每个盒子得到的小球数（i=12…5;）记作：=。这样将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法就对应着方程++…+=7的每一组解（…）。===15（个）所以方程++…+=7的正整数解共有15个。点评：准确理解隔板法的使用条件是使用隔板法求方程++…+=7的非负（或正）整数解的个数的理论依据。