量子力学导论习题答案(曾谨言).doc

第九章力学量本征值问题的代数解法9—1）在8.2节式（21）中给出了自旋（）与轨迹角动量（）耦合成总角动量的波函数这相当于的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a）中的CG系数解：8.2节式（21a）（21b）:（21a）（21b）此二式中的相当于CG系数中的而。因此（21a）式可重写为（21a’）对照CG系数表可知：当时而时对于的（21b）式有9－2）设两个全同粒子角动量耦合成总角动量（1）利用系数的对称性证明由此证明无论是Bose子或Fermi子都必须取偶数证：由式（1）把利用系数的对称性(2)对于Fermi子半奇数奇数但要求即要求所以必须为偶数。（情况只能构成交换对称态为什么？）因此可验证：态的总数为。[]。对于Bose子整数偶数但要求即故也必须为偶数9－3）设原子中有两个价电子处于能级上按耦合方案（总角动量）证明：（a）必为偶数；（b）。当时（偶）；时可以为奇也可以为偶。证：自旋的耦合：轨迹角动量的耦合：其中偶是对称态奇是反对称态总的波函数（对于交换全部坐标包括自旋）要求反对称所以时时在两种情况下都为偶数但对于偶；。可以为奇也可以为偶［讨论本题结论与题9－2有无矛盾？（按耦合方案似乎必为偶数）。提示：在本题中若用耦合来分析？是否只有一个值？两种耦合方案得出的态数是否相等？］9－4）大小相等的两个角动量耦合成角动量为的态证明的几率却相等即。提示：利用（P235式（23））证：Dirac符号表示有（1）在本题的情况下。则（1）成为（2）其中即为耦合表象中的态用无耦合表象基矢展开时的展开式系数—CG系数其模即表示体系处于态时测得取值（同时取值取各可能值）的几率。由提示（3）（4）即对于给定的所合成的态的几率与的具体取值无关皆为。9－5）设在态下证明（取）证：（参剖析8.68等）9－6）在表象(以为基矢)中的子空间的维数为3求在此三维空间中的矩阵表示再利用矩阵方法求出的本征值和本征态解：在表象中的子空间中的基矢为。由于。对于本题以上方式中不难求得。在此三维空间中的矩阵表示为［表象］（1）设的本征值为本征矢为则本征方程为（2）此方程有非平庸解的条件为系数行列式等于零由此可解得本征值：.（3）将代入（2）可得。由此得归一化取。（4）同理将分别代入（2）可求得；。