数学竞赛平面几何讲座：四点共圆问题.doc

数学竞赛平面几何讲座：四点共圆问题以下是查字典数学网为您推荐的数学竞赛平面几何讲座：四点共圆问题希望本篇文章对您学习有所帮助。数学竞赛平面几何讲座：四点共圆问题四点共圆问题在数学竞赛中经常出现这类问题一般有两种形式：一是以四点共圆作为证题的目的二是以四点共圆作为解题的手段为解决其他问题铺平道路.1四点共圆作为证题目的例1.给出锐角△ABC以AB为直径的圆与AB边的高CC及其延长线交于MN.以AC为直径的圆与AC边的高BB及其延长线将于PQ.求证：MNPQ四点共圆.分析：设PQMN交于K点连接APAM.欲证MNPQ四点共圆须证MKKN=PKKQ即证(MC-KC)(MC+KC)=(PB-KB)(PB+KB)或MC2-KC2=PB2-KB2.①不难证明AP=AM从而有AB2+PB2=AC2+MC2.故MC2-PB2=AB2-AC2=(AK2-KB2)-(AK2-KC2)=KC2-KB2.②由②即得①命题得证.例2.A、B、C三点共线O点在直线外O1O2O3分别为△OAB△OBC△OCA的外心.求证：OO1O2O3四点共圆.分析：作出图中各辅助线.易证O1O2垂直平分OBO1O3垂直平分OA.观察△OBC及其外接圆立得OO2O1=OO2B=OCB.观察△OCA及其外接圆立得OO3O1=OO3A=OCA.由OO2O1=OO3O1OO1O2O3共圆.利用对角互补也可证明OO1O2O3四点共圆请同学自证.2以四点共圆作为解题手段这种情况不仅题目多而且结论变幻莫测可大体上归纳为如下几个方面.(1)证角相等例3.在梯形ABCD中AB∥DCABCDKM分别在ADBC上DAM=CBK.求证：DMA=CKB.分析：易知ABMK四点共圆.连接KM有DAB=CMK.∵DAB+ADC=180CMK+KDC=180.故CDKM四点共圆CMD=DKC.但已证AMB=BKADMA=CKB.(2)证线垂直例4.⊙O过△ABC顶点AC且与ABBC交于KN(K与N不同).△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M.求证：BMO=90.分析：这道国际数学竞赛题曾使许多选手望而却步.其实只要把握已知条件和图形特点借助四点共圆问题是不难解决的.连接OCOKMCMK延长BM到G.易得GMC=BAC=BNK=BMK.而COK=2BAC=GMC+BMK=180CMKCOK+CMK=180COKM四点共圆.在这个圆中由OC=OKOC=OKOMC=OMK.但GMC=BMK故BMO=90.(3)判断图形形状例5.四边形ABCD内接于圆△BCD△ACD△ABD△ABC的内心依次记为IAIBICID.试证：IAIBICID是矩形.分析：连接AICAIDBICBID和DIB.易得AICB=90ADB=90+ACB=AIDBABIDIC四点共圆.同理ADIBIC四点共圆.此时AICID=180ABID=180ABCAICIB=180ADIB=180ADCAICID+AICIB=360-(ABC+ADC)=360-180=270.故IBICID=90.同样可证IAIBICID其它三个内角皆为90.该四边形必为矩形.(4)计算例6.正方形ABCD的中心为O面积为1989㎝2.P为正方形内一点且OPB=45PA:PB=5:14.则PB=__________分析：答案是PB=42㎝.怎样得到的呢?连接OAOB.易知OPAB四点共圆有APB=AOB=90.故PA2+PB2=AB2=1989.由于PA:PB=5:14可求PB.(5)其他例7.设有边长为1的正方形试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的并求出这两个面积(须证明你的论断).分析：设△EFG为正方形ABCD的一个内接正三角形由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上所以不妨令FG两点在正方形的一组对边上.作正△EFG的高EK易知EKGD四点共圆KDE=KGE=60.同理KAE=60.故△KAD也是一个正三角形K必为一个定点.又正三角形面积取决于它的边长当KF丄AB时边长为1这时边长最小而面积S=也最小.当KF通过B点时边长为2这时边长最大面积S=2-3也最大.例8.NS是⊙O的直径弦AB丄NS于MP为ANB上异于N的任一点PS交AB于RPM的延长线交⊙O于Q.求证：RSMQ.分析：连接NPNQNRNR的延长线交⊙O于Q.连接MQSQ.易证NMRP四点共圆从而SNQ=MNR=MPR=SPQ=SNQ.根据圆的轴对称性质可知Q与Q关于NS成轴对称MQ=MQ.又易证MSQR四点共圆且RS是这个圆的直径(RMS=90)MQ是一条弦(MSQ90)故RSMQ.但MQ=MQ所以RSMQ.练习题1.⊙O1交⊙O2于AB两点射线O1A交⊙O2于C点射线O2A交⊙O1于D