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数学竞赛平面几何讲座5讲(第3讲点共线、线共点)以下是查字典数学网为您推荐的数学竞赛平面几何讲座5讲(第3讲点共线、线共点)希望本篇文章对您学习有所帮助。数学竞赛平面几何讲座5讲(第3讲点共线、线共点)1.点共线的证明点共线的通常证明方法是:通过邻补角关系证明三点共线;证明两点的连线必过第三点;证明三点组成的三角形面积为零等。n(n4)点共线可转化为三点共线。例1如图设线段AB的中点为C以AC和CB为对角线作平行四边形AECDBFCG。又作平行四边形CFHDCGKE。求证:HCK三点共线。证连AKDGHB。由题意ADECKG知四边形AKGD是平行四边形于是AKDG。同样可证AKHB。四边形AHBK是平行四边形其对角线ABKH互相平分。而C是AB中点线段KH过C点故KCH三点共线。例2如图所示菱形ABCD中A=120O为△ABC外接圆M为其上一点连接MC交AB于EAM交CB延长线于F。求证:DEF三点共线。证如图连ACDFDE。因为M在O上则AMC=60ABC=ACB有△AMC∽△ACF得又因为AMC=BAC所以△AMC∽△EAC得所以又BAD=BCD=120知△CFD∽△ADE。所以ADE=DFB。因为AD∥BC所以ADF=DFB=ADE于是FED三点共线。例3四边形ABCD内接于圆其边AB与DC的延长线交于点PAD与BC的延长线交于点Q。由Q作该圆的两条切线QE和QF切点分别为EF。求证:PEF三点共线。证如图。连接PQ并在PQ上取一点M使得BCMP四点共圆连CMPF。设PF与圆的另一交点为E并作QG丄PF垂足为G。易如QE2=QMQP=QCQB①PMC=ABC=PDQ。从而CDQM四点共圆于是PMPQ=PCPD②由①②得PMPQ+QMPQ=PCPD+QCQB即PQ2=QCQB+PCPD。易知PDPC=PEPF又QF2=QCQB有PEPF+QF2=PDPC+QCAB=PQ2即PEPF=PQ2-QF2。又PQ2-QF2=PG2-GF2=(PG+GF)(PG-GF)=PF(PG-GF)从而PE=PG-GF=PG-GE即GF=GE故E与E重合。所以PEF三点共线。例4以圆O外一点P引圆的两条切线PAPBAB为切点。割线PCD交圆O于CD。又由B作CD的平行线交圆O于E。若F为CD中点求证:AFE三点共线。证如图连AFEFOAOBOPBFOF延长FC交BE于G。易如OA丄APOB丄BPOF丄CP所以PAFOB五点共圆有AFP=AOP=POB=PFB。又因CD∥BE所以有PFB=FBEEFD=FEB而FOG为BE的垂直平分线故EF=FBFEB=EBF所以AFP=EFDAFE三点共线。2.线共点的证明证明线共点可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点)或证明第3条直线通过另外两条直线的交点也可转化成点共线的问题给予证明。例5以△ABC的两边ABAC向外作正方形ABDEACFG。△ABC的高为AH。求证:AHBFCD交于一点。证如图。延长HA到M使AM=BC。连CMBM。设CM与BF交于点K。在△ACM和△BCF中AC=CFAM=BCMAC+HAC=180HAC+HCA=90并且BCF=90HCA因此BCF+HAC=180MAC=BCF。从而△MAC≌△BCFACM=CFB。所以MKF=KCF+KFC=KCF+MCF=90即BF丄MC。同理CD丄MB。AHBFCD为△MBC的3条高线故AHBFCD三线交于一点。例6设P为△ABC内一点APB-ACB=APC-ABC。又设DE分别是△APB及△APC的内心。证明:APBDCE交于一点。证如图过P向三边作垂线垂足分别为RST。连RSSTRT设BD交AP于MCE交AP于N。易知PRAS;PTBR;PSCT分别四点共圆则APB-ACB=PAC+PBC=PRS+PRT=SRT。同理APC-ABC=RST由条件知SRT=RST所以RT=ST。又RT=PBsinBST=PCsinC所以PBsinB=PCsinC那么由角平分线定理知故MN重合即APBDCE交于一点。例7O1与O2外切于P点QR为两圆的公切线其中QR分别为O1O2上的切点过Q且垂直于QO2的直线与过R且垂直于RO1的直线交于点IIN垂直于O1O2垂足为NIN与QR交于点M。证明:PMRO1QO2三条直线交于一点。证如图设RO1与QO2交于点O连MOPO。因为O1QM=O1NM=90所以QO1NM四点共圆有QMI=QO1O2。而IQO2=90RQO1所以IQM=O2QO1故△QIM∽△QO2O1得同理可证。因此因为QO1∥RO2所以有由①②得MO∥QO1。又由于O1P=O1QPO2=RO2所以即OP∥RO2。从而MO∥QO1∥RO2∥OP故MOP三点共线所以PM