数学竞赛平面几何讲座5讲--第三讲点共线、线共点.doc

第三讲点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。1.点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。n(n≥4)点共线可转化为三点共线。例1如图，设线段AB的中点为C，以AC和CB为对角线作平行四边形AECD，BFCG。又作平行四边形CFHD，CGKE。求证：H，C，K三点共线。证连AK，DG，HB。由题意，ADECKG，知四边形AKGD是平行四边形，于是AKDG。同样可证AKHB。四边形AHBK是平行四边形，其对角线AB，KH互相平分。而C是AB中点，线段KH过C点，故K，C，H三点共线。例2如图所示，菱形ABCD中，∠A=120°，O为△ABC外接圆，M为其上一点，连接MC交AB于E，AM交CB延长线于F。求证：D，E，F三点共线。证如图，连AC，DF，DE。因为M在O上，则∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB，有△AMC∽△ACF，得。又因为∠AMC=BAC，所以△AMC∽△EAC，得。所以，又∠BAD=∠BCD=120°，知△CFD∽△ADE。所以∠ADE=∠DFB。因为AD∥BC，所以∠ADF=∠DFB=∠ADE，于是F，E，D三点共线。例3四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC的延长线交于点P，AD与BC的延长线交于点Q。由Q作该圆的两条切线QE和QF，切点分别为E，F。求证：P，E，F三点共线。证如图。连接PQ，并在PQ上取一点M，使得B，C，M，P四点共圆，连CM，PF。设PF与圆的另一交点为E’，并作QG丄PF，垂足为G。易如QE2=QM·QP=QC·QB①∠PMC=∠ABC=∠PDQ。从而C，D，Q，M四点共圆，于是PM·PQ=PC·PD②由①，②得PM·PQ+QM·PQ=PC·PD+QC·QB，即PQ2=QC·QB+PC·PD。易知PD·PC=PE’·PF，又QF2=QC·QB，有PE’·PF+QF2=PD·PC+QC·AB=PQ2，即PE’·PF=PQ2-QF2。又PQ2－QF2=PG2－GF2=(PG+GF)·(PG－GF)=PF·(PG－GF)，从而PE’=PG－GF=PG－GE’，即GF=GE’，故E’与E重合。所以P，E，F三点共线。例4以圆O外一点P，引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点。割线PCD交圆O于C，D。又由B作CD的平行线交圆O于E。若F为CD中点，求证：A，F，E三点共线。证如图，连AF，EF，OA，OB，OP，BF，OF，延长FC交BE于G。易如OA丄AP，OB丄BP，OF丄CP，所以P，A，F，O，B五点共圆，有∠AFP=∠AOP=∠POB=∠PFB。又因CD∥BE，所以有∠PFB=∠FBE，∠EFD=∠FEB，而FOG为BE的垂直平分线，故EF=FB，∠FEB=∠EBF，所以∠AFP=∠EFD，A，F，E三点共线。2.线共点的证明证明线共点可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点)，或证明第3条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。例5以△ABC的两边AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG。△ABC的高为AH。求证：AH，BF，CD交于一点。证如图。延长HA到M，使AM=BC。连CM，BM。设CM与BF交于点K。在△ACM和△BCF中，AC=CF，AM=BC，∠MAC+∠HAC=180°，∠HAC+∠HCA=90°，并且∠BCF=90°+∠HCA，因此∠BCF+∠HAC=180°∠MAC=∠BCF。从而△MAC≌△BCF，∠ACM=∠CFB。所以∠MKF=∠KCF+∠KFC=∠KCF+∠MCF=90°，即BF丄MC。同理CD丄MB。AH，BF，CD为△MBC的3条高线，故AH，BF，CD三线交于一点。例6设P为△ABC内一点，∠APB－∠ACB=∠APC－∠ABC。又设D，E分别是△APB及△APC的内心。证明：AP，BD，CE交于一点。证如图，过P向三边作垂线，垂足分别为R，S，T。连RS，ST，RT，设BD交AP于M，CE交AP于N。易知P，R，A，S；P，T，B，R；P，S，C，T分别四点共圆，则∠APB－∠ACB=∠PAC+∠PBC=∠PRS+∠PRT=∠SRT。同理，∠APC－∠ABC=∠RST，由条件知∠SRT=∠RST，所以RT=ST。又RT=PBsinB，ST=PCsinC，所以PBsinB=PCsinC，那么。由角平分线定理知。故M，N重合，即AP，BD，CE交于一点。例7O1与O2外切于P点，QR为两圆的公切线，其中Q，R分别为O1，O2上的切点，过Q且垂直于QO2的直线与过R且垂直于RO1的直线交于点I，IN垂直于O1O2，垂足为N，IN与QR交于点M。证明：PM，RO1，QO2三条直线交于一点。证如图，设R