从哲学视域探讨高数中的概念.doc

从哲学视域探讨高数中的概念一、函数、极限、连续(一)函数现实生活中每个人都有着错综复杂的关系。比如:朋友关系、师生关系、医患关系、父子关系等。对于两个有联系的事物在量上存在着的某种关系数学中我们把它定义为函数即y=f(x)。(二)极限事物是发展变化的但我们总希望在变化中发现它的稳定性这在数学中就是极限。极限是微积分的工具在其中占据很大的地位。不仅如此极限在物理、工程等学科中有着广泛的应用它揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系。极限是个美好的东西借助极限思想人们可以从有限认识无限从不变认识变化从直线形状认识曲线形状从量变认识质变从近似认识准确。我们每个人都在为了过上理想的生活努力奋斗。随着努力程度的增加我们离美好事物也会越来越近。尽管如此但有时还是触摸不到。这种想要而得不到的心情又加深了我们对美好事物的向往。极限思想恰好体现了我们追求美好事物的过程。例如对于一个数列11213……1n这里可以把n增加的过程视作我们努力的过程把极限值0视作我们的目标显然随着n的逐渐增大离目标0越来越近。极限是事物变化过程中呈现出的稳定性趋势。它与个别点的取值有关系但个别点的取值又决定不了最终的趋势。比如我们经常听到的一句话“冬天来了春天还会远吗?”冬去春来是大自然的内在规律可能这个冬天有点暖那个春天有点冷但是无论怎样都改不了四季轮回的整体趋势。哲学中常说事物的发展是曲折上升的。这在极限中就可以体现出来。比如我们来看数列1-121+131-141+15……1+(-1)n1n+1……随着n的逐渐增大(这里我们可以将其看作某人逐渐努力的过程)这个数列的通项越来越接近极限值1(这里我们可以把极限1看作这个人奋斗的目标)。通过这个人的努力最终达到目标了这解释了事物的发展是伴随着曲折和坎坷而不断上升的。可见在追逐美好事物的路途中虽充满了曲折和挑战但只要认准了自己的正确目标坚持到底一定会达到胜利的彼岸。(三)连续哲学中事物的变化是从量变到质变。这在高等数学中也有明确的概念来对应。事物数量积累是连续的量积累到一定程度变化到质又是不连续的也就是高等数学中谈到的间断点。经过质变之后又进入了下一轮的量变过程连续与间断如此反复促进事物的发展变化。当然对间断点稍做调整又可以实现连续这也说明在一定条件下两者可以相互转化。二、导数与微分(一)导数事物是变化的这就决定了它们的关系也是变化的。当一种现象发生量的变化时与之相关的另一现象也随之变化。数学中用增量表示变化。这里我们把吟x=x2-x1称为自变量的变化;吟y=y2-y1称为因变量的变化。于是就有了研究变化与变化关系的概念即导数:导数是讨论变化与变化的关系这种变化关系有强有弱。根据变化的强弱可得到如下对应关系:(1)多变对多变;(2)多变对少变;(3)多变对不变;(4)少变对少变;(5)少变对多变;(6)少变对不变;(7)不变对万变。举例来说对于(1)与(4)就一些奢侈品而言如香水它的价格变动时人们的需求也会随之变化。若当其价格降为0时需求最大。这就是弹性需求。对于(2)和(3)就如生活中的必需品如馒头即使价格降为0人们对其需求也变化不大。人们对它的需求不因价格的变化而变化我们称之为刚性需求。对于(5)就如在某人体温发生微小变化时如上升了0.3度对于这个人来说就会感觉到浑身不适。还有一个大家非常熟悉的“蝴蝶效应”---一只蝴蝶在巴西煽动翅膀会在得克萨斯引起龙卷风说的也是小变化引起大变化的例子。对于(7)在高等数学中常量与变量既有严格的区分又相互依存、相互渗透在一定条件下相互转化。再如在多元函数微积分中为了研究某一个变量的性态往往把其余变量看作常量。导数本质上体现了变化与变化的关系。然而要研究事物间的变化关系必须弄清两件事:一是在什么范围内发生变化也就是数学中所说的论域只不过数学当中研究的是一种抽象的变化脱离了具体的背景如果我们把这种变化关系用到经济中就是边际与弹性问题。边际讨论的是绝对变化量的关系弹性讨论的是相对变化量的关系。而经济学更关心的是边际效益。在经济学中有一个通用规律:边际效益递减。这一规律有着很广泛的应用。比如人与人的交往中一开始大家都对彼此有很大的兴趣但随着时间推移我们会慢慢不在乎对方的一举一动这正是平常所说的夫妻间的“七年之痒”.如果大家明白了这点就会在自己今后的生活中学会创新。工作也一样比如辅导员(父母)如果不厌其烦地重复一个模式、一句话那么其发挥的功效就会慢慢减少。(二)微分世界的一切事物是相互联系的。导数是用极限来定义的是关于函数变化率的问题;而微分是用函数变化率的线性主部来定义的用于近似计算。两问题出发点虽然不同但都揭示了同一问题的本质特征。三、积分事物之间的关系是对称也是相互的。比如在父子关系中我们可通过父亲找到他的儿子;也可通过儿子找到父亲。导数既然是讨论变化与变化的关系那么按照