人教版选修21第二章抛物线抛物线的几何性质讲义.docx

案例(二)——精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点抛物线的几何性质(1)范围:因为将方程变为知由此可知抛物线上的点在轴上或在轴的右侧(不可能在轴的左侧)当增大时也随之增大开口向右并且向右上方和右下方无限伸展。(2)对称性将抛物线中的用—代替方程不变说明抛物线关于轴对称(结合图形也可看出)。抛物线的对称轴也叫做拋物线的轴。(3)顶点在方程中令得(00)点是抛物线与它的对称轴(即轴)的交点我们把抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。由此可见抛物线的顶点是坐标原点(00)。(4)离心率和开口方向①抛物线的离心率：拋物线上的点到焦点和准线的距离的比叫做抛物线的离心率仍用表示。由抛物线的定义易知抛物线的离心率。利用可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离将距离只用点的横坐标(或纵坐标)来表示使问题得以简化。②抛物线的开口方向:拋物线开口向右；开口向左；开口向上；开口向下。③抛物线的开口大小：在抛物线中对于同一个值越大也越大也就是说抛物线的开口也越大。④给出各种标准形式的抛物线方程能熟练说出开口方向、燕点坐标、准线方程、对称轴；反过来要能根据抛物线的几何性质求出抛物线的方程。看到抛物线的标准方程首先要判断抛物线的对称轴和开口方向。⑤四种形式的抛物线的几何性质对比如下:标准方程图象性质焦点准线范围轴轴顶点离心率开口方向向右向左类型图象类型性质焦点准线范围对称轴轴顶点离心率开口方向向上向下典型例题分析题型1抛物线的几何性质应用【例1】已知抛物线的顶点在坐标原点对称轴为轴且与圆相交的公共弦长等于求这条抛物线的方程。解析因为圆和抛物线都关于轴对称所以它们的交点也关于轴对称即公共弦被轴垂直平分于是由弦长等于可知交点织坐标为。答案设所求抛物线方程为或。设交点则即由对称性知:代入上式得。把代入得・点在抛物线上点在抛物线上或上所以抛物线方程为或。规律总结从方程形式看求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数；而从实际分析一般需确定和确定开口方向两个条件否则应展开相应的讨论。【变式训练1】已知抛物线的一个内接三角形的一顶点在原点三条高线都通过抛物线的焦点求这个三角形的外接圆的方程。答案由题意三条高都通过抛物线的焦点则此三角形为以原点为顶点的等腰三角形如图。设则。又。。设的中点为则点坐标为的中垂线方程为：当时外接圆圆心坐标为由正弦定理：外接圆方程：。题型2抛物线的焦点弦问题【例2】如图过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于、两点点在轴上方求。解析设直线的方程由直线方程和抛物线方程可得到两点的坐标然后再根据坐标的意义和平面几何中相似三角形的知识就很容易求出。答案直线的倾斜角为且过焦点∴可设直线。将代入上面的方程得解得。点在轴上方。规律总结由直线方程和曲线方程化为关于的二次方程比化为关于的二次方程要好一是化简的计算简便二是更容易得出比值。【变式训练2】过抛物线的焦点作不垂直于对称轴的直线交抛物线于、两点线段的垂直平分线交轴于求证:。答案设抛物线方程为的中点为则。两式相减并整理得。是的中点。。∴直线的方程为。令得点的横坐标。。又。题型3抛物线的最值问题【例3】试在抛物线上求一点使到点与到焦点的距离之和最小。解析如图所示易知点在抛物线内由抛物线定义知点到点的距离等于到准线的距离故问题由原来的求最小转化为求最小由平面几何知识有移动到位置使三点共线时值变为最小值此时的点即为所求。答案由已知易得点在抛物线内准线方程如图过作准线于直线交抛物线于则为满足题设的最小值。因为轴坐标为所以点坐标为。又因点在抛物线上所以即为所求点此时最小值为。规律总结本题在解答过程中充分运用了抛物线的定义在定义的应用中将抛物线上的点到准线(或焦点)的距离转化为到焦点(或准线)的距离是一种常用方法。【变式训练3】为抛物线上的动弦且(为常数且)求弦的中点离轴的最近距离。答案如右图设点的纵坐标分别为三点在抛物线准线上的射影分别为。由抛物线的定义。又是线段的中点。等号成立的条件是三点共线即为焦点弦。最近距离为。【例4】已知定点试在抛物线上求一点使得最小。解析在抛物线上任取一点然后利用两点间的距离公式表示出这样可得到关于的函数然后对这个函数进行探讨。答案设抛物线上任一点为则有。(1)当时使最小则；(2)当时使最小则。规律总结在含有参数时要注意对参数不同取值进行讨论。【变式训练4】抛物线上的点与直线的最短距离为1求的值。答案设点是抛物线上任意一点其到直线的距离为则。由的判别式得；由得故由题意应有解得。题型4与