高三数学第一轮总复习 5.3 向量的坐标运算课件(1) 课件.ppt

5.3向量的坐标运算高
考
猜
想一、平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对任一向量a，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj，则实数对(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a=(x，y).其中x、y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，a=(x，y)叫做向量a的坐标表示.
相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量.二、平面向量的坐标运算
1.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a±b=①_______________;
2.如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=②______________;
3.若a=(x，y)，则λa=③_________;
4.如果a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a∥b的充要条件是④_____________.
三、平面向量数量积的坐标表示
1.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=⑤_____________;
2.若a=(x，y)，则|a|2=a·a=⑥______，|a|=⑦___________;
3.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=⑧____________；
4.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a⊥b⑨_______________;
5.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cosθ=⑩________________.
盘点指南：①(x1±x2，y1±y2);②(x2-x1，y2-y1);③(λx，λy);④x1y2-x2y1=0;⑤x1x2+y1y2;⑥x2+y2;⑦;⑧;⑨x1x2+y1y2=0;⑩对于n个向量a1,a2,…,an,若存在n个不全为零的实数k1,k2,…，kn,使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立，则称向量a1,a2,…,an是线性相关的.按此规定，能使向量a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)是线性相关的实数k1,k2,k3的值依次为_________.(只需写出一组值即可)
解：根据线性相关的定义得k1(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=0，
则令k3=1,则k2=2，k1=-4，
所以k1,k2,k3的一组值为-4,2,1.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m)，且a∥b，则2a+3b=()
A.(-2，-4)B.(-3，-6)
C.(-4，-8)D.(-5，-10)
解：由a∥b，得m=-4，所以2a+3b=(2，4)＋(-6，-12)=(-4，-8)，故选C.已知平面向量a=(1，-3)，b=(4，-2)，λa+b与a垂直，则λ=()
A.-1B.1
C.-2D.2
解：由于λa+b=(λ+4,-3λ-2),a=(1,-3),且(λa+b)⊥a,
所以(λ+4)-3(-3λ-2)=0，即10λ+10=0,
所以λ=-1，故选A.1.设向量a=(1，-3)，b=(-2，4)，c=(-1，-2)，若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d的坐标.
解：根据题意，4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0，
即6a+4b-4c+d=0，
所以d=4c-6a-4b=4(-1，-2)-6(1，-3)-4(-2，4)=(-2，-6).
点评：坐标向量的加减运算，按对应的坐标进行加减运算即可，涉及到已知起点和终点坐标求向量时，用终点坐标减去起点坐标即可.点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=(4，-3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位长度).设开始时点P的坐标为(-10，10)，则5秒后点P的坐标为()
A.(-2，4)B.(-30，25)
C.(5，-10)D.(10，-5)
解：设点A(-10，10)，5秒后点P运动到B点，则=5v，所以=5v，所以+5v=(-10，10)+5(4，-3)=(10，-5).故选D.2.已知向量a=(cos23°，cos67°)，b=(cos68°，cos22°)，求|a+tb|(t∈R)的最小值.
解：由已知得a=(cos23°，sin23°)，b=(sin22°，cos22°)，所以|a|=|b|=1，
a·b=sin22°cos23°+cos22°sin23°=sin45°=.
所以|a+tb|2=(a+tb)2=a2+2ta·b+t2b2

所以当t=-时，|a+tb|min=.
点评：坐标向量a=(x，y)的模
是一个非负数，涉及到三角函数式的运算时，注意先将三角函数式化简再求解.已知向量m=(cosθ，sinθ)和n=(-sinθ，cosθ)，θ∈［π，2π］.求|m+n|的最大值.
解：m+n=(cosθ-sinθ+,cosθ+sinθ),

因为θ