状态空间平均法.ppt

高等电力电子技术第3章开关变换器的建模分析3.1概述本章从最基本而又最重要的状态空间平均法出发，分别介绍PWM开关模型法、等效变压器描述法两种平均值等效电路法，最后介绍了离散平均法，并对建模过程进行举例说明
3.2状态空间平均法另一种是关于系统状态空间的数学描述，这种内部描述是基于系统内部状态的一种数学模型，由两个方程组成。一个反映系统内部变量x和输入变量u间的关系，具有一阶微分方程组的形式；另一个是表征系统输出向量y与内部变量及输入变量间的关系，具有代数方程的形式。3.2.1状态空间的基本定义状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶向量微分方程或差分方程称为系统的状态方程，它不含输入的微积分项，一般形式为：

输出方程：描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，当输出可测量时，又称为观测方程。输出方程的一般形式为：
线性系统：线性系统的状态方程是一阶向量线性微分方程或差分方程，输出方程是向量代数方程，线性连续时间系统动态方程的一般形式为：3.2.2.1变换器的开关状态和状态方程当开关管V导通、二极管VD关断时

式中当Boost电路工作于前两种状态，即开关管和二极管轮流导通时，电感电流是连续的，可称之为电流连续工作模式（CCM）；
而当Boost电路有三种工作状态时，即除了开关管和二极管轮流导通外，还有开关管和二极管都不导通的状态，电感电流是不连续的，可称之为电流不连续工作模式（DCM）。
以电流连续工作模式为例说明状态空间平均法的建模过程定义开关函数如下：

在引入开关函数和后，前述Boost电路的状态方程可描述为：

整理为矩阵的形式得：

（3-1）

在引入开关函数以后，状态方程得到了统一，但由于在上式中存在两变量的乘积项，并且开关函数随时间t变化，所以统一描述后的状态方程本质上仍然是一个非线性时变方程。
状态空间平均法的主要思想是：根据线性元件、独立电源和周期性开关组成的原始网络，使用状态空间描述并进行平均化处理，将各个电路状态对整个电路的影响用其在整个周期的平均值来描述。这样可以得到在一个开关周期里，电路的平均状态方程描述。
下面将以连续导通模式时的Boost变换器为例，介绍状态空间平均法建模的具体步骤。1）变量的平均化
由于开关管的通断，开关变换器中的大多数变量都是突变的；对两个状态进行平均化以后，时变的变量转化为连续的变量。

那如何对变量进行平均化，进而得到平均状态方程呢？平均算子有如下性质：
（1）微分性质：
平均算子的微分等于变量微分后再平均
（2）线性性质：
两个与常数相乘的平均算子之和等于变量与常数乘积求和后再平均
（3）时不变性质：
延迟后的变量的平均算子等于平均变量延迟后的值
通常，但如果变量同时满足变化幅度足够小和变化速度足够慢那么有根据以上平均算子性质，假设对方程式（3-1）进行平均化：

对开关函数进行平均化：

式中d为占空比。由此得出：

同理：

基本的状态空间平均方程为：

其中：

由上所述，平均化解决了状态变量时变问题，同时平均化后的状态方程是低频模型。2)求解稳态方程
根据稳态时，令
大写表示稳态值，得到

根据式(3-19)，可得到状态变量的稳态解：

(3-20)3)求解动态方程
当需要研究系统的动态过程时，可以在系统稳态工作点附近引入扰动量，令瞬时值：

式中：为稳态占空比值，为占空比扰动量；为稳态状态变量，为状态变量扰动量；为稳态输入量，为输入变量扰动量；为稳态输出变量，为输出变量扰动量。代入状态空间平均方程并分离稳态量，整理后得：

假定动态过程中的扰动信号比其稳态量小的多：

非线性方程中的变量乘积项可被忽略，由此而得到的线性方程在系统的稳态工作点附近可以近似描述此非线性系统。

5)求解传递函数
对（3-2）进行拉普拉斯变换

求解可得：
进而可解得传递函数：
3.小结优点：只要知道电路在各个状态下的系数矩阵，就可以将时变的非线性电路通过占空比平均化，从而把时变非线性过程变成了线性定常过程，最后得出描述电路的统一低频稳态和小信号数学表达式，使用状态空间平均法，物理概念清晰，模型较为简洁，计算机仿真速度较快；
缺点：开关转换时刻有时难以确定，还有当电路状态过多时，方法较为繁复，特别是建立高阶电路模型时非常复杂，难以化简，求解困难。同时状态空间平均法忽略了一个开关周期以内的变化，得到的是低于奈奎斯特频率（开关频率的一半）的特性，无法观察谐波和实际的开关波形。3.3PWM开关模型法3.3.1PWM开关的基本定义有源开关和无源开关组成一个三端开关网络，可以进一步等效为一个三端开关
3.3.2PWM开关的端口特性3.3.3