专题：中考压轴题几何综合问题.doc

2012年全国中考数学（100套）压轴题分类解析汇编
专题9：几何综合问题
1.（2012宁夏区10分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.
(1)连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；
(2)若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式。当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
(3)若PE∥BD，试求出此时BP的长.

【答案】解：（1）∵△APE≌△ADE，∴AP=AD=3。
在Rt△ABP中，AB=2，∴BP=。
（2）∵AP⊥PE，∴Rt△ABP∽Rt△PCE。
∴，即。∴。
∵
∴当时，y的值最大，最大值是。
（2）设BP=x,由（2）得。
∵PE∥BD，，∴△CPE∽△CBD。
∴，即，
化简得。
解得或（不合题意，舍去）。
∴当BP=时，PE∥BD。
【考点】矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，平行的性质，解一元二次方程。
【分析】（1）由△APE≌△ADE可得AP=AD=3，在Rt△ABP中，应用勾股定理即可求得BP的长。
（2）由AP⊥PE，得Rt△ABP∽Rt△PCE，根据相似三角形的对应边成比例可列式得y与x的函数关系式。化为顶点式即可求得当时，y的值最大，最大值是。
（3）由PE∥BD，得△CPE∽△CBD，根据相似三角形的对应边成比例可列式可求得BP的长。
2.（2012山西省12分）问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．
探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：
解：OM=ON，证明如下：
连接CO，则CO是AB边上中线，
∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1）
∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2）
反思交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：
依据2：
（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
拓展延伸：
（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．

【答案】（1）解：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；角平分线上的点到角的两边距离相等。
（2）证明：∵CA=CB，∴∠A=∠B。
∵O是AB的中点，∴OA=OB。
∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠AMO=∠BNO=90°。
∵在△OMA和△ONB中，∠A=∠B，OA=OB，∠AMO=∠BNO，
∴△OMA≌△ONB（AAS）。∴OM=ON。
（3）解：OM=ON，OM⊥ON。理由如下：
连接CO，则CO是AB边上的中线。
∵∠ACB=90°，∴OC=AB=OB。
又∵CA=CB，
∴∠CAB=∠B=45，∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°。∴∠2=∠B。
∵BN⊥DE，∴∠BND=90°。
又∵∠B=45°，∴∠3=45°。∴∠3=∠B。∴DN=NB。
∵∠ACB=90°，∴∠NCM=90°。
又∵BN⊥DE，∴∠DNC=90°。∴四边形DMCN是矩形。∴DN=MC。∴MC=NB。
∴△MOC≌△NOB（SAS）。∴OM=ON，∠MOC=∠NOB。
∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON，即∠MON=∠BOC=90°。
∴OM⊥ON。
【考点】等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。
【分析】（1）根据等腰三角形和角平分线的性质直接作答。
（2）利用AAS证明△OMA≌△ONB即可。
（3）利用SAS证明△MOC≌△NOB即可得到OM=ON，∠MOC=∠NOB。通过角的等量代换即可得∠MON=∠BOC=90°，而得到OM⊥ON。
3.（2012福建厦门10分）已知ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分
别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF．
（1）如图，若PE＝eq\r(3)，EO＝1，求∠EPF的度数；
（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF＝BC＋3eq\r(2)－4，求BC的长．

【答案】解：（1）连接PO,
∵PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD，
∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL）。
∴∠EPO＝∠FPO。
在Rt△PEO中，tan∠EPO＝