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《高等数学复习》教程
第一讲函数、连续与极限
一、理论要求
1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）
几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系
夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断
理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）
二、题型与解法
A.极限的求法（1）用定义求
（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）
（3）变量替换法
（4）两个重要极限法
（5）用夹逼定理和单调有界定理求
（6）等价无穷小量替换法
（7）洛必达法则与Taylor级数法
（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.（等价小量与洛必达）
2.已知
解：

（洛必达）
3.（重要极限）
4.已知a、b为正常数，
解：令
（变量替换）
5.
解：令
（变量替换）
6.设连续，，求
（洛必达与微积分性质）
7.已知在x=0连续，求a
解：令（连续性的概念）
三、补充习题（作业）
1.（洛必达）
2.（洛必达或Taylor）
3.（洛必达与微积分性质）

第二讲导数、微分及其应用
一、理论要求
1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义
会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）
会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理
会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图
会计算曲率（半径）
二、题型与解法
A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.决定，求
2.决定，求
解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1
3.决定，则B.曲线切法线问题4.求对数螺线处切线的直角坐标方程。
解：

5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。
解：需求，等式取x->0的极限有：f(1)=0
C.导数应用问题6.已知，
，求点的性质。
解：令，故为极小值点。
7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。
解：定义域

8.求函数的单调性与极值、渐进线。
解：，D.幂级数展开问题9.

或：
10.求
解：
=E.不等式的证明11.设，
证：1）令

2）令F.中值定理问题12.设函数具有三阶连续导数，且，
，求证：在（-1，1）上存在一点
证：
其中
将x=1，x=-1代入有
两式相减：

13.，求证：
证：
令
令
（关键：构造函数）
三、补充习题（作业）
1.
2.曲线
3.
4.证明x>0时
证：令

第三讲不定积分与定积分
一、理论要求
1.不定积分掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）
会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）2.定积分理解定积分的概念与性质
理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法
会求定积分、广义积分
会用定积分求几何问题（长、面、体）
会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值
二、题型与解法
A.积分计算1.
2.
3.设，求
解：

4.B.积分性质5.连续，,且，求并讨论在的连续性。
解：

6.
C.积分的应用7.设在[0，1]连续，在（0，1）上，且，又与x=1,y=0所围面积S=2。求，且a=?时S绕x轴旋转体积最小。
解：

8.曲线，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的表面积。
解：切线绕x轴旋转的表面积为
曲线绕x轴旋转的表面积为
总表面积为
三、补充习题（作业）
1.
2.
3.

第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何
一、理论要求
1.向量代数理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）
了解两个向量平行、垂直的条件
向量计算的几何意义与坐标表示2.多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质
理解偏导数、全微分概念
能熟练求偏导数、全微分
熟练掌握复合函数与隐函数求导法3.多元微分应用理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值4.空间解析几何掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法
会求平面、直线方程与点线距离、点面距离
二、题型与解法
A.求偏导、全微分1.有二阶连续偏导，满足，求
解：
2.
3.，求B.空间几何问题4.求上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。
解：
5.曲面在点处的法线方程。C.极值问题6.设是由确定的函数，求的极值点与极值。
三、补充习题（作业）
1.
2.
3.
第五讲多元函数的积分
一、理论要求
1.重积分熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）