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《高等数学复习》教程与讲义

第一讲函数、连续与极限

一、理论要求

1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）
几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）
2.极限极限存在性与左右极限之间的关系
夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法则求极限
3.连续函数连续（左、右连续）与间断
理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）

二、题型与解法

A.极限的求法（1）用定义求
（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）
（3）变量替换法
（4）两个重要极限法
（5）用夹逼定理和单调有界定理求
（6）等价无穷小量替换法
（7）洛必达法则与Taylor级数法
（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）

Tel：[phone]华慧使命：让天下没有难学的学问
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arctanx−xarctanx−x1
1.lim=lim=−（等价小量与洛必达）
x−>0ln(1+2x3)x−>02x36
sin6x+xf(x)6+f(x)
2.已知lim=0，求lim
x−>0x3x−>0x2
sin6x+xf(x)6cos6x+f(x)+xy'
lim=lim
解：x−>0x3x−>03x2

−36sin6x+2y'+xy''−216cos6x+3y''+xy'''
=lim=lim
x−>06xx−>06

−216+3y''(0)
==0∴y''(0)=72
6
6+f(x)y'y''72
lim=lim=lim==36（洛必达）
x−>0x2x−>02xx−>022
2x2x
3.lim()x−1（重要极限）
x−>1x+1

ax+bx3
4.已知a、b为正常数，求lim()x
x−>02

ax+bx33
解：令t=()x,lnt=[ln(ax+bx)−ln2]
2x

33
limlnt=lim(axlna+bxlnb)=ln(ab)
x−>0x−>0ax+bx2（变量替换）
∴t=()ab3/2

1
2
5.lim(cosx)ln(1+x)
x−>0

1
21
解：令t=(cosx)ln(1+x),lnt=ln(cosx)
ln(1+x2)
−tanx1
limlnt=lim=−∴t=e−1/2（变量替换）
x−>0x−>02x2

x2
f()tdt
∫0
6.设连续，，求
f'()xf(0)=0,f'(0)≠0limx=1
x−>0x2f()tdt
∫0
（洛必达与微积分性质）
⎧ln(cosx)x−2,x≠0
7.已知f()x=⎨在x=0连续，求a
⎩a,x=0

Tel：[phone]解：令、82619a376=limln(cosx)/x2=−1/2华慧使命：让天下没有难学的学问（连续性的概念）
x−>0
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三、补充习题（作业）
ex−1−x
1.lim=−3（洛必达）
x−>01−x−cosx
11
2.limctgx(−)（洛必达或Taylor）
x−>0sinxx

x2
xe−tdt
∫0
3.lim2=1（洛必达与微积分性质）
x−>01−e−x

第二讲导数、微分及其应用

一、理论要求
1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义
会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）
会求平面曲线的切线与法线方程
2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理
会用定理证明相关问题
3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图
会计算曲率（半径）

二、题型与解法
A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导

⎧x=arctantdy
1.y=y()x由⎨2t决定，求
⎩2y−ty+e=5dx
dy
2.y=y(x)由ln(x2+y)=x3y+sinx决定，求|=1
dxx=0
解：两边微分得x=0时y'=ycosx=y，将x=0代入等式得y=1

xy
3.y=y(x)由2=x+y决定，则dy|x=0=(ln2−1)dx

B.曲线切法线问题
4.求对数螺线ρ=eθ在（ρ，θ）（=eπ/2,π/2)处切线的直角坐标方程。

⎪⎧x=eθcosθ
解：,(x,y)|=(0,eπ/2),y'|=−1
⎨θθ=π/2θ=π/2
⎩⎪y=esinθ

y−eπ/2=−x

5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足
f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的