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排列组合常见题型及解题策略

排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，
掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合
应用题的解题策略.

一．可重复的排列求幂法：

重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的
元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪
个底数，哪个是指数

【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？
（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？
（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？

【解析】：（1）34（2）43（3）43

【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，

第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有76种不同方案.

【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）

3833
A、8B、3C、A8D、C8

【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠

军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有83种

不同的结果。所以选A

二．相邻问题捆绑法：

题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

【例1】ABCDE,,,,五人并排站成一排，如果AB,必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有

4
【解析】：把AB,视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A424种

【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3
位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）
A.360B.188C.216D.96

2222
【解析】：间接法6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，C3A2A4A2=432种其

12222
中男生甲站两端的有A2C3A2A3A2=144，符合条件的排法故共有288

三、相离问题插空法：

元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述
几个元素的空位和两端.

【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是

5252
【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A6种，不同的排法种数是AA563600

种

【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不同的插法（具
体数字作答）

111
【解析】：A7A8A9=504

【例3】高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要
求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是

52
【解析】：不同排法的种数为AA56＝3600

【例4】某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工
程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6
项工程的不同排法种数是

2
【解析】：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有A5＝20

种不同排法。

【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，
但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，
则该晚会的节目单的编排总数为种.

111
【解析】：A9A10A11=990

【例6】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的
二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

3
【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C5种方

法,所以满足条件的关灯方案有10种.
说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒
模型可使问题容易解决.

【例7】3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？

3
【解析】：解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A3，○*○*○*○，在四个空

1
中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A4种，所以每个人左右两边都空位的排法有

13
A4A3=24种.

解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*