空间点到直线的距离公式.doc

平面点到直线距离
点(x0,y0)，直线：A*x+B*y+C=0，距离d。
d=|A*x0+B*y0+C|/√(A*A+B*B)

空间点到平面距离
点(x0,y0,z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。
d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)

空间点到直线距离
点(x0,y0,z0)，直线L（点向式参数方程）：
(x-xl)/m=(y-yl)/n=(z-zl)/p=t。(1)
式(1)的注释：点(xl,yl,zl)是直线上已知的一点，向量(m,n,p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。
空间直线的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法，请参考《高等数学》空间几何部分。
设点(x0,y0,z0)到直线L的垂点坐标为(xc,yc,zc)。因为垂点在直线上，所以有：
(xc-xl)/m=(yc-yl)/n=(zc-zl)/p=t(2)
式(2)可变形为：
xc=m*t+xl,yc=n*t+yl,zc=p*t+zl.(3)
且有垂线方向向量(x0-xc,y0-yc,z0-zc)和直线方向向量(m,n,p)的数量积等于0，即：
m*(x0-xc)+n*(y0-yc)+p*(z0-zc)=0(4)
把式(3)代入式(4)，可消去未知数“xc,yc,zc”，得到t的表达式：
t=[m*(x0-xl)+n*(y0-yl)+p*(z0-zl)]/(m*m+n*n+p*p)(5)
点(x0,y0,z0)到直线的距离d就是该点和垂点(xc,yc,zc)的距离：
d=√[(x0-xc)^2+(y0-yc)^2+(z0-zc)^2](6)
其中xc,yc,zc可以用式(3)和式(5)代入消去。