高考数学专题9 等差数列和等比数列.doc

专题9等差数列、等比数列
例题讲解
考点一数列的概念
例1（2009浙江文）设为数列的前项和，，，其中是常数．
（I）求及；
（II）若对于任意的，，，成等比数列，求的值．
解（Ⅰ）当，
（）
经验，（）式成立，
（Ⅱ）成等比数列，，
即，整理得：，
对任意的成立，
变式练习1（2009北京文）设数列的通项公式为.数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若，求数列的前2m项和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.
【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、
分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.
解（Ⅰ）由题意，得，解，得.
∴成立的所有n中的最小整数为7，即.
（Ⅱ）由题意，得，
对于正整数，由，得.
根据的定义可知
当时，；当时，.
∴

.
（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式及得.
∵,根据的定义可知，对于任意的正整数m都有
，即对任意的正整数m都成立.
当（或）时，得（或），
这与上述结论矛盾！
当，即时，得，解得.
∴存在p和q，使得；
p和q的取值范围分别是，..

考点二等差数列的概念、通项、求和
例2(2009山东卷文)等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（11）当b=2时，记求数列的前项和
解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,
当时,,
当时,,
又因为{}为等比数列,所以,公比为,所以
（2）当b=2时，,
则

相减,得

所以
【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和.
变式练习2（2009上海青浦区）设数列的前和为，已知，，，，
一般地，（）．
（1）求；
（2）求；
（3）求和：．
（1）；……3分
（2）当时，（）
，……6分
所以，（）．……8分
（3）与（2）同理可求得：，……10分
设=，
则，（用等比数列前n项和公式的推导方法），相减得
，所以
．……14分

考点三等比数列的概念、通项、求和
例3（2009全国卷Ⅱ理）设数列的前项和为已知
（I）设，证明数列是等比数列
（II）求数列的通项公式。
解：（I）由及，有
由，．．．①则当时，有．．．．．②
②－①得
又，是首项，公比为２的等比数列．
（II）由（I）可得，
数列是首项为，公差为的等比数列．
，
评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找．
第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以．
变式练习3(山东省潍坊市2007—2008学年度高三第一学期期末考试)已知数列，设，数列。
（1）求证：是等差数列；
（2）求数列的前n项和Sn；
（3）若一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。
解：（1）由题意知，……………………1分

∴数列的等差数列……………………4分
（2）由（1）知，
…………………………5分

于是
两式相减得

……………………8分
（3）

∴当n=1时，
当
∴当n=1时，取最大值是
又

即……………………12分

考点四等差与等比的综合问题
例4（2009福建卷文）等比数列中，已知
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。
解：（I）设的公比为
由已知得，解得
（Ⅱ）由（I）得，，则，
设的公差为，则有解得
从而
所以数列的前项和
变式练习4（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问3分，（Ⅱ）问4分，（Ⅲ）问5分）
已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设为数列的前项和，求证：；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ），所以
（Ⅱ）由得即
所以当时，于是
所以
（Ⅲ）当时，结论成立
当时，有

所以

考点五求通项的常见方法
例5（2009龙岩一中）设正整数数列满足：，当时，有．
（I）求、的值；
（Ⅱ）求数列的通项；
(Ⅲ)记，证明，对任意，.
解（Ⅰ）时，，由已知，得，
因为为正整数，所以，同理………………………………2分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：。…………………………………………3分
证明：①时，命题成立；
②假设当与时成立，即，。……………4分
于是，整理得：，……………………………5分
由归纳假设得：，…………………6分
因为为正整数，所以，即当时命题仍成立。
综上：由知①②知对于，有成立．………………………………7分
(Ⅲ)证明：由③
得④
③式减④式得⑤…………………9分
⑥
⑤式减⑥式得
…………………11分

…………13分
则．……………………………